Um cone reto de altura H e massa específica μ flutua em um líquido de massa específica
μL, com o vértice para fora. Calcular a altura da parte imersa.
Dados do problema:
- Altura do cone: H;
- Massa específica do cone: μ;
- Massa específica do líquido: μL.
Esquema do problema:
Seja R o raio da base do cone de altura H (Figura 1-A), este pode ser dividido em duas
partes, um cone emerso, de altura he e raio r, e um tronco de cone imerso, de
altura hi e raio inferior R e raio superior r. A altura do cone será
dada pela soma das alturas das duas partes
\[
\begin{gather}
H=h_e+h_i \tag{I}
\end{gather}
\]
O volume do cone, Vc, é dado pela soma do cone emerso, Ve, com o volume
do tronco de cone imerso, Vi
\[
\begin{gather}
V_c=V_e+V_i \tag{II}
\end{gather}
\]
As forças que atuam no cone são a força peso
\( \vec P \)
e a força de empuxo
\( \vec E \),
conforme a Figura 1-B. A força peso é devido à massa de todo cone de volume Vc, e a força
de empuxo é devido à massa de líquido deslocado pelo tronco de cone imerso de volume Vi
(Figura 1-C).
Solução:
Adotando g para a aceleração local da gravidade o peso do cone é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_c=m_cg \tag{III}
\end{gather}
\]
a força de empuxo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=m_{\small L}g} \tag{IV}
\end{gather}
\]
onde mL é massa de líquido deslocada.
Para que o cone flutue devemos ter a condição
\[
\begin{gather}
\sum_iF_i=0
\end{gather}
\]
aplicando esta condição ao sistema (Figura 1-B)
\[
\begin{gather}
E-P=0 \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (III) e (IV) na equação (V)
\[
\begin{gather}
m_{\small L}g-m_cg=0 \\[5pt]
m_{\small L}\cancel g=m_c\cancel g \\[5pt]
m_{\small L}=m_c \tag{VI}
\end{gather}
\]
A massa específica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mu=\frac{m}{V}}
\end{gather}
\]
com o volume de líquido deslocado, VL, é visto como um tronco de cone com o mesmo volume
do tronco de cone imerso, Vi = VL, aplicando esta equação ao corpo
e ao líquido
\[
\begin{gather}
\mu=\frac{m_c}{V_c} \\[5pt]
m_c=\mu V_c \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mu_{\small L}=\frac{m_{\small L}}{V_i} \\[5pt]
m_{\small L}=\mu_{\small L}V_i \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (VII) e (VIII) na equação (VI)
\[
\begin{gather}
\mu_{\small L}V_i=\mu V_c \tag{IX}
\end{gather}
\]
Da equação (II) podemos escrever o volume da parte imersa em termos dos volumes do cone e da parte emersa
\[
\begin{gather}
V_i=V_c-V_e \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (X) na equação (IX)
\[
\begin{gather}
\mu_{\small L}\left(V_c-V_e\right)=\mu V_c \\[5pt]
\mu_{\small L}V_c-\mu_{\small L}V_e=\mu V_c \tag{XI}
\end{gather}
\]
O volume de um cone é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h}
\end{gather}
\]
Escrevendo o volume do cone total e o volume da parte emersa
\[
\begin{gather}
V_c=\frac{1}{3}\pi R^{2}H \tag{XII-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
V_e=\frac{1}{3}\pi r^{2}h_e \tag{XII-b}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (XII-a) e (XII-b) na equação (XI)
\[
\begin{gather}
\mu_{\small L}\cancel{\frac{1}{3}\pi} R^{2}H-\mu_{\small L}\cancel{\frac{1}{3}\pi} r^{2}h_e=\mu\cancel{\frac{1}{3}\pi} R^{2}H \\[5pt]
\mu_{\small L}R^{2}H-\mu_{\small L}r^{2}h_e=\mu R^{2}H \\[5pt]
\mu_{\small L}R^{2}H-\mu R^{2}H=\mu_{\small L}r^{2}h_e \\[5pt]
R^{2}H\left(\mu_{\small L}-\mu \right)=\mu_{\small L}r^{2}h_e \\[5pt]
h_e=\frac{R^{2}H\left(\mu_{\small L}-\mu \right)}{\mu_{\small L}r^{2}} \\[5pt]
h_e=\frac{R^{2}H}{r^{2}}\left(\frac{\mu_{\small L}-\mu}{\mu_{\small L}}\right) \\[5pt]
h_e=H\frac{R^{2}}{r^{2}}\left(\frac{\mu_{\small L}}{\mu_{\small L}}-\frac{\mu }{\mu_{\small L}}\right) \\[5pt]
h_e=H\left(\frac{R}{r}\right)^{2}\left(1-\frac{\mu}{\mu_{\small L}}\right) \tag{XIII}
\end{gather}
\]
A razão entre os raios do cone e da parte emersa
\( \left(\frac{R}{r}\right) \)
pode ser obtido observando-se que uma seção transversal que passa pelo meio cone é um triângulo, metade
desse triângulo forma um triângulo retângulo (Figura 2). Aplicando a
Semelhança de Triângulos
\[
\begin{gather}
\frac{H}{R}=\frac{h_e}{r} \\[5pt]
\frac{R}{r}=\frac{H}{h_e} \tag{XIV}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (XIV) na equação (XIII)
\[
\begin{gather}
h_e=H\left(\frac{H}{h_e}\right)^{2}\left(1-\frac{\mu}{\mu_{\small L}}\right) \tag{XV}
\end{gather}
\]
da equação (I) temos a altura do cone emerso
\[
\begin{gather}
h_e=H-h_i \tag{XVI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (XVI) na equação (XV)
\[
\begin{gather}
H-h_i=H\left(\frac{H}{H-h_{i}}\right)^{2}\left(1-\frac{\mu}{\mu_{\small L}}\right) \\[5pt]
H-h_i=HH^{2}\frac{1}{{\left(H-h_i\right)}^{2}}\left(1-\frac{\mu}{\mu_{\small L}}\right) \\[5pt]
\left(H-h_i\right)\left(H-h_i\right)^{2}=H^{3}\left(1-\frac{\mu}{\mu_{\small L}}\right) \\[5pt]
\left(H-h_i\right)^{3}=H^{3}\left(1-\frac{\mu}{\mu_{\small L}}\right) \\[5pt]
H-h_i=\sqrt[{3\;}]{H^{3}\left(1-\frac{\mu }{\mu_{\small L}}\right)\;} \\[5pt]
H-h_i=H\sqrt[{3\;}]{1-\frac{\mu }{\mu_{\small L}}\;} \\[5pt]
h_i=H-H\sqrt[{3\;}]{1-\frac{\mu }{\mu_{\small L}}\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{h_i=H\left(1-\sqrt[{3\;}]{1-\frac{\mu }{\mu_{\small L}}\;}\right)}
\end{gather}
\]
