Num vaso contendo água soltam-se duas esferas. A primeira com densidade d1 > 1, é
largada na superfície livre, e a segunda com densidade d2 < 1, é abandonada no fundo.
Calcular a razão de suas velocidades quando passam pelo ponto médio da altura da água no vaso. A densidade
da água é de 1 g/cm3.
Dados do problema:
- Densidade da esfera 1: d1;
- Densidade da esfera 2: d2;
- Densidade da água: da = 1 g/m3.
Esquema do problema:
Adota-se um sistema de referência com origem no fundo do vaso e orientado para cima (Figura 1).
Inicialmente as esferas estão em repouso (v01 = v02 = 0), como a
densidade da esfera 1 é maior do que a densidade da água (d1 > 1) ela começa a
afundar, e a esfera 2 que tem densidade menor que a da água (d2 < 1) começa a
subir.
Vamos adotar h para a altura do vaso e g para a aceleração local da gravidade.
Solução:
Aplicando a 2.ª Lei de Newton às forças da Figura 1
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a} \tag{I}
\end{gather}
\]
Para a esfera na superfície
\[
\begin{gather}
E_1-P_1=m_1a_1 \tag{II}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{III}
\end{gather}
\]
para a esfera 1
\[
\begin{gather}
P_1=m_1g \tag{IV}
\end{gather}
\]
a força de empuxo é dada por
\[
\begin{gather}
E_1=m_ag \tag{V}
\end{gather}
\]
onde mA é massa de água deslocada, substituindo as equações (IV) e (V) na equação (II)
\[
\begin{gather}
m_ag-m_1g=m_1a_1 \tag{VI}
\end{gather}
\]
A densidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{d=\frac{m}{V}} \tag{VII}
\end{gather}
\]
com o volume V do corpo igual ao volume de água deslocada, aplicando esta equação ao corpo e ao
líquido
\[
\begin{gather}
d_1=\frac{m_1}{V_1} \\[5pt]
m_1=d_1V_1 \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
d_a=\frac{m_a}{V_1} \\[5pt]
m_a=d_aV_1 \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (VIII) e (IX) na equação (VI)
\[
\begin{gather}
d_a\cancel{V_1}g-d_1\cancel{V_1}g=d_1\cancel{V_1}a_1 \\[5pt]
d_ag-d_1g=d_1a_1 \\[5pt]
g(d_a-d_1)=d_1a_1 \\[5pt]
g(1-d_1)=d_1a_1
\end{gather}
\]
e a aceleração com que a esfera 1 afunda
\[
\begin{gather}
a_1=\frac{g(1-d_1)}{d_1} \tag{X}
\end{gather}
\]
Analogamente aplicando a equação (I) para o caso da segunda esfera
\[
\begin{gather}
E_2-P_2=m_2a_2
\end{gather}
\]
as forças peso e de empuxo serão dadas por
\[
\begin{gather}
P_2=m_2g
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_2=m_ag
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
m_ag-m_2g=m_2a_2
\end{gather}
\]
substituindo as massas pelas equações obtidas a partir das densidades, equação (VII)
\[
\begin{gather}
d_2=\frac{m_2}{V_2}\Rightarrow m_2=d_2V_2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
d_a=\frac{m_a}{V_2}\Rightarrow m_a=d_aV_2
\end{gather}
\]
a aceleração da esfera 2 será
\[
\begin{gather}
d_aV_2g-d_2V_2g=d_2V_2a_2 \\[5pt]
d_ag-d_2g=d_2a_2 \\[5pt]
g(d_a-d_2)=d_2a_2 \\[5pt]
g(1-d_2)=d_2a_2
\end{gather}
\]
e a aceleração com que a esfera 2 sobe
\[
\begin{gather}
a_2=\frac{g(1-d_2)}{d_2} \tag{XI}
\end{gather}
\]
Usando a Equação de Torricelli
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v^2=v^2+2a\Delta S}
\end{gather}
\]
Escrevendo esta equação para os dois casos
\[
\begin{gather}
v_1^2=v_{01}^2-2a_1\Delta S
\end{gather}
\]
a aceleração da esfera 1 está no sentido contrário do referencial por isso é negativa, o deslocamento
será da superfície até a metade do vaso
\( \left(\Delta S=\frac{h}{2}\right) \),
substituindo a equação (X) e a velocidade inicial suposta nula
\[
\begin{gather}
v_1^2=0^2-\cancel 2\frac{g(1-d_1)}{d_1}\frac{h}{\cancel 2} \\[5pt]
v_1^2=\frac{-{g(1-d_1)h}}{d_1} \\[5pt]
v_1^2=\frac{g(d_1-1)h}{d_1} \tag{XII}
\end{gather}
\]
A aceleração da esfera 2 está no mesmo sentido do referencial por isso é positiva, o deslocamento será o
mesmo da esfera 1, substituindo a equação (XI) e a velocidade inicial suposta nula
\[
\begin{gather}
v_2^2=0^2+\cancel 2\frac{g(1-d_2)}{d_2}\frac{h}{\cancel 2} \\[5pt]
v_2^2=\frac{g(1-d_2)h}{d_2} \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Dividindo a equação (XII) pela equação (XIII)
\[
\begin{gather}
\frac{v_1^2}{v_2^2}=\frac{\dfrac{g(d_1-1)h}{d_1}}{\dfrac{g(1-d_2)h}{d_2}} \\[5pt]
\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2=\frac{\cancel{g}(d_1-1)\cancel{h}}{d_1}\frac{d_2}{\cancel{g}(1-d_2)\cancel{h}} \\[5pt]
\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2=\frac{(d_1-1)}{d_1}\frac{d_2}{(1-d_2)} \\[5pt]
\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2=\frac{(d_1-1)}{(1-d_2)}\frac{d_2}{d_1}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{(d_1-1)}{(1-d_2)}\frac{d_2}{d_1}}}
\end{gather}
\]
