Um líquido de massa específica μ1 e massa m1 é misturado a um
outro, de massa específica μ2 e massa m2. Sabendo-se que o
volume final diminui de 1/n, determinar a massa específica da mistura.
Dados do problema:
- Massa específica do líquido 1: μ1;
- Massa do líquido 1: m1;
- Massa específica do líquido 2: μ2;
- Massa do líquido 2: m2;
- Diminuição do volume: \( \dfrac{1}{n} \).
Esquema do problema:
A massa final é a soma das massas
mF =
m1+
m2, e o
volume final deveria ser a soma dos volumes,
VF =
V1+
V2, mas sofre uma diminuição de
\( \frac{1}{n} \),
ou seja
\[
\begin{gather}
V_{\small F}=(V_1+V_2)\left(1-\frac{1}{n}\right) \\[5pt]
V_{\small F}=(V_1+V_2)\left(\frac{n-1}{n}\right)
\end{gather}
\]
Figura 1
Solução:
A massa específica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mu =\frac{m}{V}}
\end{gather}
\]
A massa específica da mistura final será
\[
\begin{gather}
\mu_{\small F}=\frac{m_{\small F}}{V_{\small F}} \\[5pt]
\mu_{\small F}=\frac{(m_1+m_2)}{(V_1+V_2)\left(\dfrac{n-1}{n}\right)} \\[5pt]
\mu_{\small F}=\frac{(m_1+m_2)n}{(V_1+V_2)(n-1)} \tag{I}
\end{gather}
\]
Escrevendo as equações para as massas específicas dos líquidos iniciais
\[
\begin{gather}
\mu_1=\frac{m_1}{V_1} \\[5pt]
V_1=\frac{m_1}{\mu_1} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mu_2=\frac{m_2}{V_2} \\[5pt]
V_2=\frac{m_2}{\mu_2} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (II) e (III) na equação (I)
\[
\begin{gather}
\mu_{\small F}=\frac{(m_1+m_2)n}{\left(\dfrac{m_1}{\mu_1}+\dfrac{m_2}{\mu_2}\right)(n-1)}
\end{gather}
\]
no denominador, o termo entre parênteses tem como fator comum
μ1μ2
\[
\begin{gather}
\mu_{\small F}=\frac{(m_1+m_2)n}{\left(\dfrac{m_1\mu_2+m_2\mu_1}{\mu_1\mu_2}\right)(n-1)}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mu_{\small F}=\frac{(m_1+m_2)n\mu_1\mu_2}{(m_1\mu_2+m_2\mu_1)(n-1)}}
\end{gather}
\]