Exercício Resolvido de Fluidos
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Um líquido de massa específica μ1 e massa m1 é misturado a um outro, de massa específica μ2 e massa m2. Sabendo-se que o volume final diminui de 1/n, determinar a massa específica da mistura.
Dados do problema:
- Massa específica do líquido 1: μ1;
- Massa do líquido 1: m1;
- Massa específica do líquido 2: μ2;
- Massa do líquido 2: m2;
- Diminuição do volume: \( \dfrac{1}{n} \).
A massa final é a soma das massas mF = m1+m2, e o
volume final deveria ser a soma dos volumes,
VF = V1+V2, mas sofre uma diminuição de
\( \frac{1}{n} \),
ou seja
\[
\begin{gather}
V_{F}=(V_{1}+V_{2})\left(1-\frac{1}{n}\right)\\
V_{F}=(V_{1}+V_{2})\left(\frac{n-1}{n}\right)
\end{gather}
\]
Figura 1
Solução
A massa específica é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\mu =\frac{m}{V}}
\]
A massa específica da mistura final será
\[
\begin{gather}
\mu_{F}=\frac{m_{F}}{V_{F}}\\
\mu_{F}=\frac{(m_{1}+m_{2})}{(V_{1}+V_{2})\left(\dfrac{n-1}{n}\right)}\\
\mu_{F}=\frac{(m_{1}+m_{2})n}{(V_{1}+V_{2})(n-1)} \tag{I}
\end{gather}
\]
Escrevendo as expressões para as massas específicas dos líquidos iniciais
\[
\begin{gather}
\mu_{1}=\frac{m_{1}}{V_{1}}\\
V_{1}=\frac{m_{1}}{\mu_{1}} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mu_{2}=\frac{m_{2}}{V_{2}}\\
V_{2}=\frac{m_{2}}{\mu_{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II) e (III) na expressão (I)
\[
\mu_{F}=\frac{(m_{1}+m_{2})n}{\left(\dfrac{m_{1}}{\mu_{1}}+\dfrac{m_{2}}{\mu_{2}}\right)(n-1)}
\]
no denominador, o termo entre parênteses tem como fator comum μ1μ2
\[
\mu_{F}=\frac{(m_{1}+m_{2})n}{\left(\dfrac{m_{1}\mu_{2}+m_{2}\mu_{1}}{\mu_{1}\mu_{2}}\right)(n-1)}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\mu_{F}=\frac{(m_{1}+m_{2})n\mu_{1}\mu_{2}}{(m_{1}\mu_{2}+m_{2}\mu_{1})(n-1)}}
\]
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