Um corpo de massa m e densidade dC é abandonado, em repouso, sobre a superfície
livre de uma camada de líquido de altura h e densidade dL. Sendo
dL < dC e a aceleração da gravidade igual a g, determinar:
a) O intervalo de tempo que o corpo leva para chegar ao fundo;
b) A energia cinética do corpo ao atingir o fundo.
Dados do problema:
- Massa do corpo: m;
- Densidade do corpo: dC;
- Velocidade inicial do corpo: v0 = 0;
- Espessura da camada de líquido: S = h;
- Densidade do líquido: dL;
- Aceleração da gravidade: g.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência com origem na superfície do líquido e orientado para baixo (Figura 1-A).
Inicialmente o corpo está em repouso (v0 = 0) como a densidade do corpo é maior que a do
líquido (dC > dL) ele começa a afundar sob a ação da força peso
\( \vec P \),
e da resistência da força de empuxo
\( \vec E \)
devido ao líquido deslocado (Figura 1-B).
Solução:
a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton às forças da Figura 1-B
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P-E=ma \tag{I}
\end{gather}
\]
onde a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{II}
\end{gather}
\]
onde m é a massa do corpo, e a força de empuxo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=m_{\small L}g} \tag{III}
\end{gather}
\]
onde mL é a massa de líquido deslocado pelo corpo.
Substituindo as equações (II) e (III) na equação (I)
\[
\begin{gather}
mg-m_{\small L}g=ma \tag{IV}
\end{gather}
\]
A densidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{d=\frac{m}{V}}
\end{gather}
\]
com o volume (V) do corpo igual ao volume do líquido deslocado, escrevendo essa equação para o
corpo e o líquido
\[
\begin{gather}
d_{\small C}=\frac{m}{V} \\[5pt]
m=d_{\small C}V \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
d_{\small L}=\frac{m_{\small L}}{V} \\[5pt]
m_{\small L}=d_{\small L}V \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (V) e (VI) na equação (IV), obtemos a aceleração
\[
\begin{gather}
d_{\small C}Vg-d_{\small L}Vg=d_{\small C}Va \\[5pt]
a=\frac{d_{\small C}Vg-d_{\small L}Vg}{d_{\small C}V} \\[5pt]
a=\frac{\cancel Vg(d_{\small C}-d_{\small L})}{d_{\small C}\cancel V} \\[5pt]
a=\frac{g(d_{\small C}-d_{\small L})}{d_{\small C}} \tag{VII}
\end{gather}
\]
O corpo afunda sob a ação da aceleração dada pela equação (VII), está em
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), a equação que rege este tipo de
movimento é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
h=0+0\times t+\frac{1}{2}\frac{g(d_{\small C}-d_{\small L})}{d_{\small C}}t^2 \\[5pt]
t^2=\frac{2hd_{\small C}}{g(d_{\small C}-d_{\small L})}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=\sqrt{\frac{2hd_{\small C}}{g(d_{\small C}-d_{\small L})}\;}}
\end{gather}
\]
b) A energia cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{\small C}=\frac{mv^2}{2}} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
A velocidade no Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=v_0+at}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VII) para a aceleração e o tempo calculado no item anterior
\[
\begin{gather}
v=0+\frac{g(d_{\small C}-d_{\small L})}{d_{\small C}}\sqrt{\frac{2hd_{\small C}}{g(d_{\small C}-d_{\small L})}\;} \\[5pt]
v=\sqrt{\frac{g^{\cancel{2}}(d_{\small C}-d_{\small L})^{\cancel{2}}}{d_{\small C}^{\cancel{2}}}\frac{2h\cancel{d_{\small C}}}{\cancel{g}\cancel{(d_{\small C}-d_{\small L})}}\;} \\[5pt]
v=\sqrt{\frac{2hg(d_{\small C}-d_{\small L})}{d_{\small C}}\;} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IX) na equação (VIII)
\[
\begin{gather}
E_{\small C}=\frac{m}{2}\left(\sqrt{\frac{2hg(d_{\small C}-d_{\small L})}{d_{\small C}}\;}\right)^2 \\[5pt]
E_{\small C}=\frac{m}{\cancel{2}}\frac{\cancel{2}hg(d_{\small C}-d_{\small L})}{d_{\small C}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{\small C}=\frac{mhg(d_{\small C}-d_{\small L})}{d_{\small C}}}
\end{gather}
\]
