Sendo m1 e m2 respectivamente as massas aparentes de um mesmo corpo
quando imerso em líquidos de densidades absolutas d1 e d2, calcular sua
massa no vácuo.
Dados do problema:
- Massa aparente do corpo mergulhado no líquido 1: m1;
- Densidade do líquido 1: d1;
- Massa aparente do corpo mergulhado no líquido 2: m2;
- Densidade do líquido 2: d2.
Solução:
Sendo m a massa procurada, temos que a massa aparente de um corpo é a diferença entre a massa real
do corpo e a massa de líquido deslocado pelo corpo (mL), assim para cada situação podemos
escrever as seguintes equações
\[
\begin{gather}
m_1=m-m_{\small L1} \tag{I} \\[10pt]
m_2=m-m_{\small L2} \tag{II}
\end{gather}
\]
A massa de líquido deslocado será o produto do volume (V) do corpo pela densidade do líquido onde
está mergulhado, então temos para os líquidos 1 e 2
\[
\begin{gather}
m_{\small L1}=Vd_1 \tag{III} \\[10pt]
m_{\small L2}=Vd_2 \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (III) e (IV) nas equações (I) e (II)
\[
\begin{gather}
m_1=m-Vd_1 \tag{V} \\[10pt]
m_2=m-Vd_2 \tag{VI}
\end{gather}
\]
Isolando o valor de V na equação (V)
\[
\begin{gather}
Vd_1=m-m_1 \\[5pt]
V=\frac{m-m_1}{d_1} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VII) na equação (VI)
\[
m_2=m-\left(\frac{m-m_1}{d_1}\right)d_2
\]
multiplicando toda a equação por d1
\[
\begin{gather}
\qquad\qquad\, m_2=m-\left(\frac{m-m_1}{d_1}\right)d_2 \qquad (\times\; d_1) \\[5pt]
m_2d_1=md_1-\left(\frac{m-m_1}{\cancel{d_1}}\right)d_2\cancel{d_1} \\[5pt]
m_2d_1=md_1-\left(m-m_1\right)d_2 \\[5pt]
m_2d_1=md_1-md_2+m_1d_2 \\[5pt]
md_1-md_2=m_2d_1-m_1d_2 \\[5pt]
m\left(d_1-d_2\right)=m_2d_1-m_1d_2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{m=\frac{m_2d_1-m_1d_2}{d_1-d_2}}
\end{gather}
\]