Exercício Resolvido de Fluidos
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Uma jangada de madeira é constituída de toras cujo volume é aproximadamente 100 litros cada. A densidade da madeira é 0,8 kg/ℓ. Três pessoas de 70 kg cada, fazem com que a jangada fique com 10% do seu volume emerso em água de densidade 1 kg/ℓ. Determine quantas toras compõem a jangada.

Dados do problema:

  • Volume da tora de madeira: Vt = 100 ℓ;
  • Densidade da madeira: dt = 0,8 kg/ℓ;
  • Massa de uma pessoa: mp = 70 kg;
  • Fração da jangada que fica emersa: f = 10%;
  • Densidade da água: da = 1 kg/ℓ.

Esquema do problema:

Figura 1

Solução:

O sistema está em equilíbrio, onde atuam a força peso da jangada \( {\vec P}_j \), a força peso das pessoas \( {\vec P}_{3p} \) e a força de empuxo \( \vec E \), devido ao volume de água deslocada pela fração da jangada que está imersa (Figura 2).
\[ \begin{gather} {\vec P}_j+{\vec P}_p=\vec E \tag{I} \end{gather} \]
A força peso da jangada é dada pelo produto das n toras que compõem a jagada pela força peso de uma tora \( {\vec P}_t \)
\[ \begin{gather} P_j=nP_t \tag{II} \end{gather} \]
Figura 2

a força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{III} \end{gather} \]

a densidade é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {d=\frac{m}{V}} \end{gather} \]

onde d é a densidade do corpo e V o volume.

\[ \begin{gather} m=dV \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV) na equação (III), temos para a força peso de uma tora

\[ \begin{gather} P_t=d_tV_tg \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a equação (V) na equação (II), temos o peso da jangada

\[ \begin{gather} P_j=nd_tV_tg \tag{VI} \end{gather} \]

A força peso das pessoas são 3 vezes o peso de uma pessoa

\[ \begin{gather} P_{3p}=3P_p \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na equação (VII), para a massa de uma pessoa

\[ \begin{gather} P_{3p}=3m_pg \tag{VIII} \end{gather} \]

A força de empuxo é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=m_{L}g} \tag{IX} \end{gather} \]

onde mL = ma é a massa de água deslocada por uma tora. Usando a equação (IV) a massa de água deslocado será

\[ \begin{gather} m_a=d_aV_a \tag{X} \end{gather} \]

onde da é a densidade da água onde o corpo está imerso e Va é o volume de água deslocada pela fração das toras que estão imersas na água. O problema diz que 10% da jangada está emersa, ou seja, os outros 90% = 0,9 estão imersos, e são responsáveis pela massa de água deslocada. Para a água deslocada por todas as toras que compõem a jangada devemos multiplicar a equação por n. Substituindo a equação (IX) em (VIII)

\[ \begin{gather} E=nd_aV_ag \tag{XI} \end{gather} \]

substituindo as equações (VI), (VIII) nas equações (XI) em (I) e substituindo os dados do problema

\[ \begin{gather} nd_tV_t\cancel g+3m_p\cancel g=nd_aV_a\cancel g \\[5pt] nd_tV_t+3m_p=nd_aV_a \\[5pt] n0,8\times 100+3\times 70=n1\times 0,9\times 100 \\[5pt] 90n-80n=210 \\[5pt] 10n=210 \\[5pt] n=\frac{210}{10} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {n=21\;\text{toras}} \end{gather} \]
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