Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência
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O gráfico representa a variação das forças F1 e Fat (força de atrito) que atuam em um corpo que se desloca sobre o eixo Ox. Calcular:
a) O trabalho da força F1 para arrastar o corpo nos primeiros 10 m;
b) O trabalho da força de atrito enquanto o corpo é arrastado nos primeiros 10 m;
c) O trabalho da força resultante para arrastar o corpo nos primeiros 15 m.


Solução

a) O trabalho da força F1 será numericamente igual à área do trapézio sob a reta que representa esta força (em azul) e o eixo Ox entre 0 e 10 m, marcada em cinza na Figura 1. A área do trapézio é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A=\frac{(B+b)h}{2}} \end{gather} \]
onde temos a base maior B = 60, base menor b = 20 e altura h = 10
\[ \begin{gather} W\overset{\text{N}}{=}A=\frac{(60+20).10}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W=400\;\text{J}} \end{gather} \]
Figura 1

b) O trabalho da força de atrito Fat será numericamente igual à área do triângulo sob o eixo Ox e limitado pela reta que representa a força de atrito (em vermelho) entre 0 e 10 m, como mostrado no desenho da figura 2 abaixo. A área do triângulo (em cinza) será
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A=\frac{Bh}{2}} \end{gather} \]
onde temos a base do triângulo B = 10 e altura h = -20
\[ \begin{gather} W\overset{\text{N}}{=}A=\frac{10.(-20)}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {W=-100\;\text{J}} \end{gather} \]
Figura 2

c) O trabalho da força resultante R será dado pela soma das áreas que representam o trabalho da força F1 acima do eixo Ox (área 1 na Figura 3) e da força de atrito Fat abaixo do eixo Ox (áreas 2 e 3 na Figura 3) entre 0 e 15 m.
Para o cálculo da área acima do eixo Ox precisamos saber o valor da força F1 em 15 m, para isso vamos determinar a equação da reta que representa a força F1. A equação da reta é
\[ \begin{gather} F(x)=ax+b \end{gather} \]
Para determinar os coeficientes a e b vemos do gráfico que a reta deve passar pelos pontos \( (x_{1},F_{1})=(0,20) \) e \( (x_{2},F_{2})=(10,60) \), substituindo esses valores na equação da reta acima, teremos o seguinte sistema
\[ \left\{ \begin{matrix} \;20=a.0+b\\ \;60=a.10+b \end{matrix} \right. \]
Figura 3

este é um sistema de duas equações a duas incógnitas, os coeficientes a e b, da primeira equação temos que b = 20, substituindo esse valor na segunda equação
\[ \begin{gather} 10a+20=60\\[5pt] 10a=60-20\\[5pt] a=\frac{40}{10}\\[5pt] a=4 \end{gather} \]
substituindo os valores de a e b na equação da reta, a força será dada pela expressão
\[ \begin{gather} F(x)=4x+20 \end{gather} \]
para x = 15 m a força será igual a
\[ \begin{gather} F(15)=4.15+20\\[5pt] F(15)=60+20\\[5pt] F(15)=80\;\text{N} \end{gather} \]
Então o trabalho da força F1 entre 0 e 15 m será numericamente igual à área (1) do trapézio em cinza-claro, onde base maior B = 60, base menor b = 20 e altura h = 15
\[ \begin{gather} W_{1}\overset{\text{N}}{=}A=\frac{(60+20).15}{2}\\[5pt] W_{1}=750\;\text{J} \end{gather} \]
O trabalho da força de atrito pode ser calculado em duas partes, primeiro pela área do triângulo entre 0 e 10 m (área (2) na Figura 3 acima em cinza-escuro) já calculado no item (b) e igual a W2 = −100 J. A segunda parte deve ser calculada pela área (3) do triângulo entre 10 m e 15 m, para essa área temos base do triângulo b = 5 e altura h = 20
\[ \begin{gather} W_{3}\overset{\text{N}}{=}A=\frac{5.(-20)}{2}\\[5pt] W_{3}=-50\;\text{J} \end{gather} \]
Finalmente o trabalho da força resultante, R, será dado pela soma das três partes calculadas
\[ \begin{gather} W_{R}=W_{1}+W_{2}+W_{3}\\[5pt] W_{R}=750+(-100)+(-50) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {W_{R}=600\;\text{J}} \]
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