Um automóvel de 1200 kg viaja por uma estrada horizontal a uma velocidade constante de 90 km/h, em dado momento o automóvel inicia uma subida com inclinação de 10° com a horizontal. Sendo dados o coeficiente de atrito entre o pneu e a estrada igual a 0,5 e o coeficiente aerodinâmico do automóvel igual a 0,4, se a potência do motor é mantida constante durante todo o trajeto, determine:
a) A resultante das forças dissipativas exercidas sobre o veículo;
b) A potência desenvolvida pelo motor em HP (horsepower);
c) A velocidade que o veículo mantém na subida em km/h.
Dados sen 10° = 0,1736, g = 10 m/s², 1 HP = 746 W.

Dados do problema:

• Massa do automóvel: m = 1200 kg;
• velocidade do automóvel: v₁ = 90 km/h;
• Inclinação da estrada: θ = 10°;
• Coeficiente de atrito: μ = 0,5;
• Coeficiente aerodinâmico: c = 0,4 unidades S.I.;
• Aceleração local da gravidade: g = 10 m/s².

Esquema do problema:

Na Figura 1 são mostrados os elementos dados no problema e a força de atrito \( {\vec F}_{at} \) e a força de resistência do ar \( {\vec F}_r \).

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter a velocidade do carro dada em quilômetros por hora (km/h) para metros por segundo (m/s) usada no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

a) Considerando o trecho horizontal da estrada, adotamos um sistema de referência com eixo-x orientado para a direita e eixo-y orientado para cima, isolando o carro da estrada estudamos as forças que atuam nele (Figura 2).

Na direção x temos as forças dissipativas \( {\vec F}_d \) devido ao atrito e a resistência do ar, como as duas atuam no mesmo sentido, contra o movimento do carro, a sua resultante será dada pela soma das duas forças, em módulo

a força de atrito é dada por

e a força de resistência do ar é

substituindo estes valores na equação (I)

Na direção y não há movimento a força peso e a reação normal se anulam

a força peso é dada por

substituindo a equação (IV) na equação (III)

Substituindo a equação (V) na equação (II)

substituindo os valores dados no problema

b) A potência desenvolvida pelo motor é dada por

convertendo este valor dado em watts (W) usado no Sistema Internacional de Unidades (S.I.) para HP

c) Considerando o trecho em subida, a força feita pelo motor deve ser maior, pois além de equilibrar as forças dissipativas, de atrito e de resistência do ar, deve compensar também a componente da força peso paralela à subida.
Adotamos um sistema de referência xy com o eixo-x paralelo ao plano inclinado e sentido ascendente e eixo-y para cima perpendicular ao plano (Figura 4-A).

A força peso pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela \( {\vec P}_{\small P} \) ao eixo-x e a outra normal ou perpendicular (\( {\vec P}_{\small N} \)). Da Figura 4-B vemos que a força peso é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é dado como 10°, como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, o ângulo entre a força peso e a componente paralela deve ser 80°. No triângulo à direita temos que a componente normal faz com o plano inclinado um ângulo de 90°, então o ângulo entre a força peso e a componente normal deve medir 10°, é um ângulo complementar.
Desenhamos as forças em um sistema de eixos coordenados (Figura 4-C).
Na direção x temos as forças dissipativas, devido ao atrito e a resistência do ar, e a componente do peso paralela ao plano, então a força que resiste ao movimento \( {\vec F}_{\small R} \) será dada pela soma destas forças

a componente paralela da força peso é dada por

substituindo a equação (IV) na equação (IX)

Substituindo a equação (X) na equação (VIII)

os dois primeiros termos do lado direito da igualdade representam as forças dissipativas calculadas no item (a), substituindo este valor e os demais valores dados no problema

Como o carro mantém a potência durante a subida usamos o valor calculado na equação (VII), a força motora na subida \( {\vec F}_{ms} \) é igual à força que resiste ao movimento \( {\vec F}_r \) (Figura 5), a velocidade \( {\vec v}_2 \) na subida será

Convertendo este valor para quilômetros por hora (km/h)