Um automóvel de 1200 kg viaja por uma estrada horizontal a uma velocidade constante de 90 km/h, em dado momento o automóvel inicia uma subida com inclinação de 10° com a horizontal. Sendo dados o coeficiente de atrito entre o pneu e a estrada igual a 0,5 e o coeficiente aerodinâmico do automóvel igual a 0,4, se a potência do motor é mantida constante durante todo o trajeto, determine:
a) A resultante das forças dissipativas exercidas sobre o veículo;
b) A potência desenvolvida pelo motor em HP (horsepower);
c) A velocidade que o veículo mantém na subida em km/h.
Dados sen 10° = 0,1736, g = 10 m/s², 1 HP = 746 W.


Dados do problema:

• Massa do automóvel:    m = 1200 kg;
• velocidade do automóvel:    v₁ = 90 km/h;
• Inclinação da estrada:    θ = 10°;
• Coeficiente de atrito:    μ = 0,5;
• Coeficiente aerodinâmico:    c = 0,4 unidades S.I.;
• Aceleração local da gravidade:    g = 10 m/s².

Esquema do problema:

Na Figura 1 são mostrados os elementos dados no problema e a força de atrito \( {\vec{F}}_{at} \) e a força de resistência do ar \( {\vec{F}}_{r} \).

Solução

Em primeiro lugar devemos converter a velocidade do carro dada em quilômetros por hora (km/h) para metros por segundo (m/s) usada no Sistema Internacional (S.I.) a) Considerando o trecho horizontal da estrada, adotamos um sistema de referência com eixo-x orientado para a direita e eixo-y orientado para cima, isolando o carro da estrada estudamos as forças que atuam nele (Figura 2).


Na direção x temos as forças dissipativas \( {\vec{F}}_{D} \) devido ao atrito e a resistência do ar, como as duas atuam no mesmo sentido, contra o movimento do carro, a sua resultante será dada pela soma das duas forças, em módulo a força de atrito é dada por e a força de resistência do ar é substituindo estes valores na expressão (I) Na direção y não há movimento a força peso e a reação normal se anulam a força peso é dada por substituindo a expressão (IV) na expressão (III) Substituindo a expressão (V) na expressão (II) substituindo os valores dados no problema
b) A potência desenvolvida pelo motor é dada por convertendo este valor dado em watts (W) usado no Sistema Internacional (S.I.) para HP
c) Considerando o trecho em subida, a força feita pelo motor deve ser maior, pois além de equilibrar as forças dissipativas, de atrito e de resistência do ar, deve compensar também a componente da força peso paralela à subida.
Adotamos um sistema de referência xy com o eixo-x paralelo ao plano inclinado e sentido ascendente e eixo-y para cima perpendicular ao plano (Figura 4-A).


A força peso pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela \( {\vec{P}}_{P} \) ao eixo-x e a outra normal ou perpendicular (\( {\vec{P}}_{N} \)). Da Figura 4-B vemos que a força peso é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é dado como 10°, como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, o ângulo entre a força peso e a componente paralela deve ser 80°. No triângulo à direita temos que a componente normal faz com o plano inclinado um ângulo de 90°, então o ângulo entre a força peso e a componente normal deve medir 10°, é um ângulo complementar.
Desenhamos as forças em um sistema de eixos coordenados (Figura 4-C).
Na direção x temos as forças dissipativas, devido ao atrito e a resistência do ar, e a componente do peso paralela ao plano, então a força que resiste ao movimento \( {\vec{F}}_{R} \) será dada pela soma destas forças a componente paralela da força peso é dada por substituindo a expressão (IV) na expressão (IX) Substituindo a expressão (X) na expressão (VIII) os dois primeiros termos do lado direito da igualdade representam as forças dissipativas calculadas no item (a), substituindo este valor e os demais valores dados no problema Como o carro mantém a potência durante a subida usamos o valor calculado na expressão (VII), a força motora na subida \( {\vec{F}}_{MS} \) é igual à força que resiste ao movimento \( {\vec{F}}_{R} \) (Figura 5), a velocidade \( {\vec{v}}_{2} \) na subida será
Convertendo este valor para quilômetros por hora (km/h)