Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência

Uma carreta de massa M move-se sem atrito em trilhos horizontais com velocidade v₀. Na parte dianteira da carreta coloca-se um corpo de massa m com velocidade inicial zero. Para que comprimento da carreta o corpo não cairá da mesma? As dimensões do corpo em relação ao comprimento da carreta podem ser desprezadas. O coeficiente de atrito entre o corpo e a carreta é μ.

Dados do problema:

Velocidade da carreta: v₀;
Massa da carreta: M;
Velocidade inicial do corpo: v_0B = 0;
Massa do corpo: m;
Coeficiente de atrito entre o corpo e a carreta: μ.

Esquema do problema:

Adota-se um Nível de Referência (N.R.) na superfície da carreta. Vamos considerar que o bloco de massa m foi colocado na parte dianteira da carreta de forma bastante suave, de modo que não ocorram perturbações verticais no sistema além da força peso do corpo e da reação normal da carreta sobre o bloco (Figura 1).

Figura 1

No início, para o bloco a Energia Cinética é nula \( E_{Ki}^{B}=0 \), sua velocidade inicial é nula, v_0B = 0. A carreta possui Energia Cinética \( E_{Ki}^{C} \) devido a sua velocidade inicial, v₀ (Figura 2).

Figura 2

A velocidade do bloco aumentará a partir do repouso, e da carreta diminuirá até que as duas velocidades se igualem a v. No final o bloco e a carreta possuem energias cinéticas \( E_{Kf}^{B} \) e \( E_{Kf}^{C} \), devido a velocidade (v).

Observação: Para a Energia Cinética foi adotada a notação E_K, ao invés da notação usual E_C, para não confundir o índice C da carreta.

Neste problema a Energia Mecânica Total não se conserva, pois existe o trabalho da força de atrito que dissipa parte da energia E_D (Figura 2) durante o deslocamento do bloco sobre a carreta,

Solução

Pela 1.ª Lei de Newton, “Todo corpo tende a permanecer em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, a menos que uma força altere seu estado”, então o bloco tende a permanecer no ponto L onde foi colocado, mas como a carreta se desloca para a direita, e existe atrito entre o bloco e a carreta, ela atua no bloco com uma força de atrito para a direita, pois o bloco tende a se deslocar para a esquerda. (Figura 3).

Figura 3

Bloco (Figura 4):

\( {\vec{P}}_{B} \): peso do bloco;
\( {\vec{N}}_{B} \): reação normal da superfície;
\( {\vec{F}}_{at} \): força de atrito.

Na direção vertical o peso e a normal se anulam, não há movimento na vertical

\[ \begin{gather} N_{B}=P_{B} \tag{I} \end{gather} \]

Figura 4

a força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a expressão (II) na expressão (I) para o bloco m a reação normal será

\[ \begin{gather} N_{B}=mg \tag{III} \end{gather} \]

A força de atrito é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{at}=\mu N} \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a expressão (III) na expressão (IV)

\[ \begin{gather} F_{at}=\mu mg \tag{V} \end{gather} \]

O trabalho da força de atrito é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{_{F_{at}}}{}{}{W}{}=F_{at}d} \tag{VI} \end{gather} \]

Para que o bloco não caia da carreta o seu deslocamento deve ser no máximo igual ao comprimento da carreta, d = L, substituindo este valor e a expressão (V) na expressão (VI)

\[ \begin{gather} {_{F_{at}}}{}{}{W}{}=\mu mgL \tag{VII} \end{gather} \]

Como a Energia Mecânica total não se conserva para que a energia total do sistema seja a mesma no início e no final, devemos igualar as energias cinética e potencial do bloco e da carreta e adicionar a energia dissipada pelo trabalho da força de atrito \( E_{D}={_{F_{at}}}{}{}{W}{} \).
A Energia Potencial inicial e final para o bloco e para a carreta são nulas, não há mudança na posição vertical dos corpos em relação ao Nível de Referência (\( E_{Pi}^{B}=E_{Pi}^{C}=E_{Pf}^{B}=E_{Pf}^{C}=0 \)). No início a Energia Cinética do bloco é nula, sua velocidade é igual a zero, e a carreta possui Energia Cinética devudo a sua velocidade v₀, no final o bloco e a carreta possuem Energia Cinética devido a velocidade v somada a energia dissipada.

\[ \begin{gather} E_{M}^{i}=E_{M}^{f}+E_{D}\\[5pt] E_{Ki}^{C}=E_{Kf}^{B}+E_{Kf}^{C}+E_{D} \tag{VIII} \end{gather} \]

a Energia Cinética é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{K}=\frac{mv^{2}}{2}} \tag{IX} \end{gather} \]

substituindo as expressões (VII) e (IX) na expressão (VIII)

\[ \begin{gather} \frac{Mv_{0}^{2}}{2}=\frac{mv^{2}}{2}+\frac{Mv^{2}}{2}+\mu mgL\\[5pt] \mu mgL=\frac{Mv_{0}^{2}}{2}-\frac{mv^{2}}{2}-\frac{Mv^{2}}{2} \end{gather} \]

multiplicando toda a expressão por 2

\[ \begin{gather} \qquad \qquad \mu mgL=\frac{Mv_{0}^{2}}{2}-\frac{mv^{2}}{2}-\frac{Mv^{2}}{2}\qquad (\times 2)\\[5pt] 2\mu mgL=\cancel{2}.\frac{Mv_{0}^{2}}{\cancel{2}}-\cancel{2}.\frac{mv^{2}}{\cancel{2}}-\cancel{2}.\frac{Mv^{2}}{\cancel{2}}\\[5pt] 2\mu mgL=Mv_{0}^{2}-mv^{2}-Mv^{2} \end{gather} \]

colocando o termo −v² em evidência no lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} 2\mu mgL=Mv_{0}^{2}-v^{2}(m+M) \tag{X} \end{gather} \]

A velocidade final do sistema pode ser encontrada usando a o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento

\[ \begin{gather} Q_{B}^{i}+Q_{C}^{i}=Q_{B}^{f}+Q_{C}^{f} \end{gather} \]

Inicialmente a quantidade de movimento do bloco é nula, \( Q_{B}^{i}=0 \), sua velocidade inicial é nula, v_0B = 0. A carreta possui quantidade de movimento proporcional a sua velocidade inicial v₀. No final o bloco e a carreta possuem quantidades de movimento proporcionais a velocidade v comum aos dois corpos.
A quantidade de movimento é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mv} \tag{XI} \end{gather} \]

aplicando a expressão (XI) ao bloco e a carreta nas situações inicial e final

\[ \begin{gather} 0+Mv_{0}=mv+Mv\\[5pt] Mv_{0}=mv+Mv \end{gather} \]

colocando a velocidade v em evidência no lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} Mv_{0}=v(m+M)\\[5pt] v=\frac{Mv_{0}}{m+M} \tag{XII} \end{gather} \]

substituindo a expressão (XII) na expressão (X)

\[ \begin{gather} 2\mu mgL=Mv_{0}^{2}-\left(\frac{Mv_{0}}{m+M}\right)^{2}(m+M)\\[5pt] 2\mu mgL=Mv_{0}^{2}-\frac{M^{2}v_{0}^{2}}{(m+M)^{\cancel{2}}}\cancel{(m+M)}\\[5pt] 2\mu mgL=Mv_{0}^{2}-\frac{M^{2}v_{0}^{2}}{m+M} \end{gather} \]

colocando os termos do lado direito da igualdade sobre o fator (m+M)

\[ \begin{gather} 2\mu mgL=\frac{Mv_{0}^{2}(m+M)-M^{2}v_{0}^{2}}{(m+M)}\\[5pt] 2\mu mgL=\frac{Mmv_{0}^{2}+M^{2}v_{0}^{2}-M^{2}v_{0}^{2}}{(m+M)}\\[5pt] 2\mu \cancel{m}gL=\frac{M\cancel{m}v_{0}^{2}}{(m+M)}\\[5pt] 2\mu gL=\frac{Mv_{0}^{2}}{(m+M)}\\[5pt] L=\frac{v_{0}^{2}}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right) \end{gather} \]

este é o comprimento mínimo para que o bloco não caia da carreta, para qualquer valor maior que este o bloco, obviamente, não cai

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {L\geqslant \frac{v_{0}^{2}}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)} \end{gather} \]

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