Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência
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Uma carreta de massa M move-se sem atrito em trilhos horizontais com velocidade v0. Na parte dianteira da carreta coloca-se um corpo de massa m com velocidade inicial zero. Para que comprimento da carreta o corpo não cairá da mesma? As dimensões do corpo em relação ao comprimento da carreta podem ser desprezadas. O coeficiente de atrito entre o corpo e a carreta é μ.

Dados do problema:

  • Velocidade da carreta: v0;
  • Massa da carreta: M;
  • Velocidade inicial do corpo: v0b = 0;
  • Massa do corpo: m;
  • Coeficiente de atrito entre o corpo e a carreta: μ.

Esquema do problema:

Adota-se um Nível de Referência (N.R.) na superfície da carreta. Vamos considerar que o bloco de massa m foi colocado na parte dianteira da carreta de forma bastante suave, de modo que não ocorram perturbações verticais no sistema além da força peso do corpo e da reação normal da carreta sobre o bloco (Figura 1).
Figura 1

No início, para o bloco a Energia Cinética é nula \( E_{ki}^{\small B}=0 \), sua velocidade inicial é nula, v0b = 0. A carreta possui Energia Cinética \( E_{ki}^{\small C} \) devido a sua velocidade inicial, v0 (Figura 2).

Figura 2

A velocidade do bloco aumentará a partir do repouso, e da carreta diminuirá até que as duas velocidades se igualem a v. No final o bloco e a carreta possuem energias cinéticas \( E_{kf}^{\small B} \) e \( E_{kf}^{\small C} \), devido a velocidade (v).

Observação: Para a Energia Cinética foi adotada a notação EK, ao invés da notação usual EC, para não confundir o índice C da carreta.

Neste problema a Energia Mecânica Total não se conserva, pois existe o trabalho da força de atrito que dissipa parte da energia ED (Figura 2) durante o deslocamento do bloco sobre a carreta,

Solução:

Pela 1.ª Lei de Newton, “Todo corpo tende a permanecer em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, a menos que uma força altere seu estado”, então o bloco tende a permanecer no ponto L onde foi colocado, mas como a carreta se desloca para a direita, e existe atrito entre o bloco e a carreta, ela atua no bloco com uma força de atrito para a direita, pois o bloco tende a se deslocar para a esquerda. (Figura 3).
Figura 3

Bloco (Figura 4):

  • \( {\vec P}_{\small B} \): peso do bloco;
  • \( {\vec N}_{\small B} \): reação normal da superfície;
  • \( {\vec F}_{at} \): força de atrito.
Na direção vertical o peso e a normal se anulam, não há movimento na vertical
\[ \begin{gather} N_{\small B}=P_{\small B} \tag{I} \end{gather} \]
Figura 4

a força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) na equação (I) para o bloco m a reação normal será

\[ \begin{gather} N_{\small B}=mg \tag{III} \end{gather} \]

A força de atrito é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{at}=\mu N} \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na equação (IV)

\[ \begin{gather} F_{at}=\mu mg \tag{V} \end{gather} \]

O trabalho da força de atrito é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {_{F_{at}}W=F_{at}d} \tag{VI} \end{gather} \]

Para que o bloco não caia da carreta o seu deslocamento deve ser no máximo igual ao comprimento da carreta, d = L, substituindo este valor e a equação (V) na equação (VI)

\[ \begin{gather} _{F_{at}}W=\mu mgL \tag{VII} \end{gather} \]

Como a Energia Mecânica total não se conserva para que a energia total do sistema seja a mesma no início e no final, devemos igualar as energias cinética e potencial do bloco e da carreta e adicionar a energia dissipada pelo trabalho da força de atrito \( E_d=_{F_{at}}W \).
A Energia Potencial inicial e final para o bloco e para a carreta são nulas, não há mudança na posição vertical dos corpos em relação ao Nível de Referência (\( E_{pi}^{\small B}=E_{pi}^{\small C}=E_{pf}^{\small B}=E_{pf}^{\small C}=0 \)). No início a Energia Cinética do bloco é nula, sua velocidade é igual a zero, e a carreta possui Energia Cinética devudo a sua velocidade v0, no final o bloco e a carreta possuem Energia Cinética devido a velocidade v somada a energia dissipada.

\[ \begin{gather} E_m^i=E_m^f+E_d \\[5pt] E_{ki}^{\small C}=E_{kf}^{\small B}+E_{kf}^{\small C}+E_d \tag{VIII} \end{gather} \]

a Energia Cinética é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_k=\frac{mv^2}{2}} \tag{IX} \end{gather} \]

substituindo as equações (VII) e (IX) na equação (VIII)

\[ \begin{gather} \frac{Mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+\frac{Mv^2}{2}+\mu mgL \\[5pt] \mu mgL=\frac{Mv_0^2}{2}-\frac{mv^2}{2}-\frac{Mv^2}{2} \end{gather} \]

multiplicando toda a expressão por 2

\[ \begin{gather} \qquad \qquad \mu mgL=\frac{Mv_0^2}{2}-\frac{mv^2}{2}-\frac{Mv^2}{2}\qquad (\times 2) \\[5pt] 2\mu mgL=\cancel 2\times\frac{Mv_0^2}{\cancel 2}-\cancel 2\times\frac{mv^2}{\cancel 2}-\cancel 2\times\frac{Mv^2}{\cancel 2} \\[5pt] 2\mu mgL=Mv_0^2-mv^2-Mv^2 \end{gather} \]

colocando o termo −v2 em evidência no lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} 2\mu mgL=Mv_0^2-v^2(m+M) \tag{X} \end{gather} \]

A velocidade final do sistema pode ser encontrada usando a o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento

\[ \begin{gather} Q_{\small B}^i+Q_{\small C}^i=Q_{\small B}^f+Q_{\small C}^f \end{gather} \]

Inicialmente a quantidade de movimento do bloco é nula, \( Q_{\small B}^i=0 \), sua velocidade inicial é nula, v0B = 0. A carreta possui quantidade de movimento proporcional a sua velocidade inicial v0. No final o bloco e a carreta possuem quantidades de movimento proporcionais a velocidade v comum aos dois corpos.
A quantidade de movimento é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mv} \tag{XI} \end{gather} \]

aplicando a equação (XI) ao bloco e a carreta nas situações inicial e final

\[ \begin{gather} 0+Mv_0=mv+Mv \\[5pt] Mv_0=mv+Mv \end{gather} \]

colocando a velocidade v em evidência no lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} Mv_0=v(m+M) \\[5pt] v=\frac{Mv_0}{m+M} \tag{XII} \end{gather} \]

substituindo a equação (XII) na equação (X)

\[ \begin{gather} 2\mu mgL=Mv_0^2-\left(\frac{Mv_0}{m+M}\right)^2(m+M) \\[5pt] 2\mu mgL=Mv_0^2-\frac{M^2v_0^2}{(m+M)^{\cancel 2}}\cancel{(m+M)} \\[5pt] 2\mu mgL=Mv_0^2-\frac{M^2v_0^2}{m+M} \end{gather} \]

colocando os termos do lado direito da igualdade sobre o fator (m+M)

\[ \begin{gather} 2\mu mgL=\frac{Mv_0^2(m+M)-M^2v_0^2}{(m+M)} \\[5pt] 2\mu mgL=\frac{Mmv_0^2+M^2v_0^2-M^2v_0^2}{(m+M)} \\[5pt] 2\mu \cancel mgL=\frac{M\cancel mv_0^2}{(m+M)} \\[5pt] 2\mu gL=\frac{Mv_0^2}{(m+M)} \\[5pt] L=\frac{v_0^2}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right) \end{gather} \]

este é o comprimento mínimo para que o bloco não caia da carreta, para qualquer valor maior que este o bloco, obviamente, não cai

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {L\geqslant\frac{v_0^2}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)} \end{gather} \]
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