Um pêndulo simples é constituído por um corpo de massa 1,5 kg preso a uma extremidade de um fio de cobre.
Mantida fixa a outra extremidade desse fio, afasta-se o pêndulo de 60° da posição de equilíbrio. Observa-se
então que o fio se rompe no instante preciso que em que passa pela vertical de equilíbrio. Sabendo-se que a
tensão de rompimento do cobre é 20 000 N/cm2 e a aceleração da gravidade é 10 m/s2,
calcule o diâmetro do fio.
Dados do problema:
- Massa do corpo: m = 1,5 kg;
- Velocidade inicial do corpo: v0 = 0 m/s;
- Ângulo de deslocamento em relação à vertical: θ = 60°;
- Tensão de rompimento: Tr = 20 000 N/cm2;
- Aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.
Esquema do problema:
Chamamos o ponto de onde o corpo liberado de ponto A, o ponto onde o corpo passa pela vertical de
equilíbrio de ponto B e o comprimento do fio será L (Figura 1).
Solução:
Em primeiro lugar devemos converter a tensão de rompimento dada em newtons por centímetro quadrado
(N/cm2) para newtons por metro quadrado (N/m2) usado no
Sistema Internacional de Unidades (S.I.)
\[
\begin{split}
T_r &=20000\;\frac{\mathrm N}{\mathrm{cm}^2}\times\frac{(100\;\mathrm{cm}\;)^2}{(1\;\mathrm m)^2}=20000\;\frac{\mathrm N}{\cancel{\mathrm{cm}^2}}\times\frac{10000\;\cancel{\mathrm{cm}^2}}{1\;\mathrm m^2}=\\
&=20000\times 10000\;\frac{\mathrm N}{\mathrm m^2}=2\times 10^4\times 1\times 10^4\;\frac{\mathrm N}{\mathrm m^2}=2\times 10^{8}\;\frac{\mathrm N}{\mathrm m^2}
\end{split}
\]
O problema nos fornece a tensão de rompimento do fio, que é dada em termos de força, tensão que atua
no fio devido à massa presa nele, por unidade de área (Figura 2). Se multiplicarmos a tensão de
rompimento pela área transversal do fio temos a tensão total que atua no momento do rompimento
\[
\begin{gather}
T=T_rA \tag{I}
\end{gather}
\]
Para determinarmos a velocidade quando o corpo passa pela vertical usamos o
Princípio da Conservação da Energia Mecânica, a energia mecânica inicial, no ponto em que o corpo é
liberado, a 60° da vertical, deve ser igual à energia mecânica final, no ponto em que passa pela vertical
de equilíbrio.
Adotando um
Nível de Referência (
N.R.) no ponto onde o corpo passa pela vertical
(Figura 3). No ponto
A o corpo só possui
Energia Potencial devido a altura em relação
ao nível de referência, a
Energia Cinética é igual a zero porque o corpo parte do repouso, no
ponto
B o corpo só possui
Energia Cinética devido a velocidade com que ele passa por esse
ponto e a
Energia Potencial é igual a zero, pois a altura em relação ao nível de referência é
zero.
\[
\begin{gather}
E_m^{small A}=E_m^{small B} \\[5pt]
E_p^{small A}=E_c^{small B} \tag{II}
\end{gather}
\]
a Energia Potencial é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_p=mgh} \tag{III}
\end{gather}
\]
a Energia Cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_c=\frac{mv^2}{2}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (III) e (IV) na equação (II) para as situações inicial e final
\[
\begin{gather}
\cancel mgh_{\small A}=\frac{\cancel mv_{\small B}^2}{2} \\[5pt]
gh_{\small A}=\frac{v_{\small B}^2}{2} \tag{V}
\end{gather}
\]
O ângulo formado pelo fio quando o corpo está na posição A e pelo segmento
\( \overline{{AB}} \)
é α (Figura 4-A), o ângulo formado pelo fio quando o corpo está na posição B e pelo segmento
\( \overline{{AB}} \)
também é α. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°
\[
60°+\alpha+\alpha=180°\Rightarrow 60°+2\alpha=180°\Rightarrow 2\alpha=180°-60°\Rightarrow 2\alpha=120°\Rightarrow\alpha=60°
\]
Como os três ângulos são iguais, os três lados também são iguais, então, o segmento
\( \overline{{AB}} \)
também vale L, é um triângulo equilátero.
Quando o corpo passa pela vertical o fio L é perpendicular ao Nível de Referência (forma um
ângulo de 90°), como o ângulo entre o fio e o segmento
\( \overline{{AB}} \)
é 60°, o ângulo β entre o segmento
\( \overline{{AB}} \)
e o Nível de Referência será
\[
60°+\beta=90°\Rightarrow\beta=90°-60°\Rightarrow\beta=30°
\]
Então a altura do ponto A, hA, em relação ao Nível de Referência será
(Figura 4-B)
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\beta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{h_{\small A}}{L} \\[5pt]
\operatorname{sen}30°=\frac{h_{\small A}}{L}
\end{gather}
\]
Da Trigonometria
\( \operatorname{sen}30°=\frac{1}{2} \)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{2}=\frac{h_{\small A}}{L} \\[5pt]
h_{\small A}=\frac{L}{2} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VI) na equação (V)
\[
\begin{gather}
v_{\small B}^2=\cancel 2g\frac{L}{\cancel 2} \\[5pt]
v_{\small B}^2=gL \tag{VII}
\end{gather}
\]
O pêndulo descreve um arco de circunferência (Figura 5), analisando as forças que atuam no sistema
aplicamos a
2.ª Lei de Newton para o movimento circular
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{{\vec F}_{cp}=m{\vec a}_{cp}} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Massa:
- \( \vec P \): força peso;
- \( \vec T \): força de tensão.
Aplicando a equação (VIII)
\[
\begin{gather}
T-P=ma_{cp} \tag{IX}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (I) e (X) na equação (IX)
\[
\begin{gather}
T_rA-mg=ma_{cp} \tag{XI}
\end{gather}
\]
a aceleração centrípeta é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a_{cp}=\frac{v^2}{r}}
\end{gather}
\]
no ponto B a aceleração centrípeta será
\[
\begin{gather}
a_{cp}=\frac{v_{\small B}^2}{L} \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo a velocidade encontrada na equação (VII) na equação (XII)
\[
\begin{gather}
a_{cp}=\frac{g\cancel L}{\cancel L} \\[5pt]
a_{cp}=g \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Substituindo o valor de (XIII) na equação (XI)
\[
\begin{gather}
T_rA-mg=mg \\[5pt]
T_rA=mg+mg \\[5pt]
T_rA=2mg \\[5pt]
A=\frac{2mg}{T_r}
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
A=\frac{2\times 1,5\times 10}{2\times 10^{8}} \\[5pt]
A=\frac{30}{2}\times 10^{-8} \\[5pt]
A=15\times 10^{-8}\;\mathrm m^2
\end{gather}
\]
Admitindo que o fio tem uma seção transversal circular, a área de um círculo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{A=\pi r^2}
\end{gather}
\]
adotando π = 3,14 e usando o valor da área encontrado acima
\[
\begin{gather}
15\times 10^{-8}=3,14r^2 \\[5pt]
r^2=\frac{15\times 10^{-8}}{3,14} \\[5pt]
r^2\approx 4,8\times 10^{-8} \\[5pt]
r^2\approx \sqrt{4,8\times 10^{-8}} \\[5pt]
r\approx 2,2\times 10^{-4}\;\mathrm m
\end{gather}
\]
o diâmetro do fio será dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{d=2r}
\end{gather}
\]
substituindo o valor do raio acima
\[
\begin{gather}
d=2\times 2,2\times 10^{-4}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{d=4,4\times 10^{-4}\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
