Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência
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Um pêndulo simples é constituído por um corpo de massa 1,5 kg preso a uma extremidade de um fio de cobre. Mantida fixa a outra extremidade desse fio, afasta-se o pêndulo de 60° da posição de equilíbrio. Observa-se então que o fio se rompe no instante preciso que em que passa pela vertical de equilíbrio. Sabendo-se que a tensão de rompimento do cobre é 20 000 N/cm2 e a aceleração da gravidade é 10 m/s2, calcule o diâmetro do fio.


Dados do problema:
  • Massa do corpo:    m = 1,5 kg;
  • Velocidade inicial do corpo:    v0 = 0 m/s;
  • Ângulo de deslocamento em relação à vertical:    θ = 60°;
  • Tensão de rompimento:    TR = 20 000 N/cm2;
  • Aceleração da gravidade:    g = 10 m/s2.
Esquema do problema:

Chamamos o ponto de onde o corpo liberado de ponto A, o ponto onde o corpo passa pela vertical de equilíbrio de ponto B e o comprimento do fio será L (Figura 1).
Figura 1

Solução

Em primeiro lugar devemos converter a tensão de rompimento dada em newtons por centímetro quadrado (N/cm2) para newtons por metro quadrado (N/m2) usado no Sistema Internacional (S.I.)
\[ \begin{split} T_{R} &=20000\;\frac{\text{N}}{\text{cm}^{2}}.\frac{(100\;\text{cm}\;)^{2}}{(1\;\text{m})^{2}}=20000\;\frac{\text{N}}{\cancel{\text{cm}^{2}}}.\frac{10000\;\cancel{\text{cm}^{2}}}{1\;\text{m}^{2}}=\\ &=20000.10000\;\frac{\text{N}}{\text{m}^{2}}=2.10^{4}.1.10^{4}\;\frac{\text{N}}{\text{m}^{2}}=2.10^{8}\;\frac{\text{N}}{\text{m}^{2}} \end{split} \]

O problema nos fornece a tensão de rompimento do fio, que é dada em termos de força, tensão que atua no fio devido à massa presa nele, por unidade de área (Figura 2). Se multiplicarmos a tensão de rompimento pela área transversal do fio temos a tensão total que atua no momento do rompimento
\[ \begin{gather} T=T_{R}A \tag{I} \end{gather} \]
Figura 2

Para determinarmos a velocidade quando o corpo passa pela vertical usamos o Princípio da Conservação da Energia Mecânica, a energia mecânica inicial, no ponto em que o corpo é liberado, a 60° da vertical, deve ser igual à energia mecânica final, no ponto em que passa pela vertical de equilíbrio.
Adotando um Nível de Referência (N.R.) no ponto onde o corpo passa pela vertical (Figura 3). No ponto A o corpo só possui Energia Potencial devido a altura em relação ao nível de referência, a Energia Cinética é igual a zero porque o corpo parte do repouso, no ponto B o corpo só possui Energia Cinética devido a velocidade com que ele passa por esse ponto e a Energia Potencial é igual a zero, pois a altura em relação ao nível de referência é zero.
\[ \begin{gather} E_{M}^{A}=E_{M}^{B}\\[5pt] E_{P}^{A}=E_{C}^{B} \tag{II} \end{gather} \]
Figura 3
a Energia Potencial é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{P}=mgh} \tag{III} \end{gather} \]
a Energia Cinética é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{C}=\frac{mv^{2}}{2}} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo as expressões (III) e (IV) na expressão (II) para as situações inicial e final
\[ \begin{gather} \cancel{m}gh_{A}=\frac{\cancel{m}v_{B}^{2}}{2}\\[5pt] gh_{A}=\frac{v_{B}^{2}}{2} \tag{V} \end{gather} \]

O ângulo formado pelo fio quando o corpo está na posição A e pelo segmento \( \overline{{AB}} \) é α (Figura 4-A), o ângulo formado pelo fio quando o corpo está na posição B e pelo segmento \( \overline{{AB}} \) também é α. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180° \( 60°+\alpha +\alpha =180°\Rightarrow 60°+2\alpha =180°\Rightarrow 2\alpha=180°-60°\Rightarrow 2\alpha=120°\Rightarrow \alpha =60° \).
\[ 60°+\alpha +\alpha =180°\Rightarrow 60°+2\alpha =180°\Rightarrow 2\alpha=180°-60°\Rightarrow 2\alpha=120°\Rightarrow \alpha =60° \]
Como os três ângulos são iguais, os três lados também são iguais, então, o segmento \( \overline{{AB}} \) também vale L, é um triângulo equilátero.

Figura 4

Quando o corpo passa pela vertical o fio L é perpendicular ao Nível de Referência (forma um ângulo de 90°), como o ângulo entre o fio e o segmento \( \overline{{AB}} \) é 60°, o ângulo β entre o segmento \( \overline{{AB}} \) e o Nível de Referência será \( 60°+\beta =90°\Rightarrow \beta=90°-60°\Rightarrow \beta =30° \).
\[ 60°+\beta =90°\Rightarrow \beta=90°-60°\Rightarrow \beta =30° \]
Então a altura do ponto A, hA, em relação ao Nível de Referência será (Figura 4-B)
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\beta =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{h_{A}}{L}\\[5pt] \operatorname{sen}30°=\frac{h_{A}}{L} \end{gather} \]
lembrando da Trigonometria que \( \operatorname{sen}30°=\frac{1}{2} \)
\[ \begin{gather} \frac{1}{2}=\frac{h_{A}}{L}\\[5pt] h_{A}=\frac{L}{2} \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VI) na expressão (V)
\[ \begin{gather} v_{B}^{2}=\cancel{2}g\frac{L}{\cancel{2}}\\[5pt] v_{B}^{2}=gL \tag{VII} \end{gather} \]
O pêndulo descreve um arco de circunferência (Figura 5), analisando as forças que atuam no sistema aplicamos a 2.ª Lei de Newton para o movimento circular
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec{F}}_{cp}=m{\vec{a}}_{cp}} \tag{VIII} \end{gather} \]
Massa:
  • \( \vec{P} \): força peso;
  • \( \vec{T} \): força de tensão.
Aplicando a expressão (VIII)
\[ \begin{gather} T-P=ma_{cp} \tag{IX} \end{gather} \]
Figura 5

a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{X} \end{gather} \]
substituindo as expressões (I) e (X) na expressão (IX)
\[ \begin{gather} T_{R}A-mg=ma_{cp} \tag{XI} \end{gather} \]
a aceleração centrípeta é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^{2}}{r}} \end{gather} \]
no ponto B a aceleração centrípeta será
\[ \begin{gather} a_{cp}=\frac{v_{B}^{2}}{L} \tag{XII} \end{gather} \]
substituindo a velocidade encontrada na expressão (VII) na expressão (XII)
\[ \begin{gather} a_{cp}=\frac{g\cancel{L}}{\cancel{L}}\\[5pt] a_{cp}=g \tag{XIII} \end{gather} \]
Substituindo o valor de (XIII) na expressão (XI)
\[ \begin{gather} T_{R}A-mg=mg\\T_{R}A=mg+mg\\[5pt] T_{R}A=2mg\\[5pt] A=\frac{2mg}{T_{R}} \end{gather} \]
substituindo os valores dados no problema
\[ \begin{gather} A=\frac{2.1,5.10}{2.10^{8}}\\[5pt] A=\frac{30}{2}.10^{-8}\\[5pt] A=15.10^{-8}\;\text{m}^{2} \end{gather} \]
Admitindo que o fio tem uma seção transversal circular, a área de um círculo é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A=\pi r^{2}} \end{gather} \]
adotando π = 3,14 e usando o valor da área encontrado acima
\[ \begin{gather} 15.10^{-8}=3,14r^{2}\\[5pt] r^{2}=\frac{15.10^{-8}}{3,14}\\[5pt] r^{2}\simeq 4,8.10^{-8}\\[5pt] r^{2}\simeq \sqrt{4,8.10^{-8}}\\[5pt] r\simeq 2,2.10^{-4}\;\text{m} \end{gather} \]
o diâmetro do fio será dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {d=2r} \end{gather} \]
substituindo o valor do raio acima
\[ \begin{gather} d=2.2,2.10^{-4} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {d=4,4.10^{-4}\;\text{m}} \end{gather} \]
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