Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência
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Três esferas idênticas são lançadas de uma mesma altura h com velocidades de mesmo módulo. A esfera A é lançada verticalmente para baixo, B é lançada verticalmente para cima e C é lançada horizontalmente. Qual delas chega ao solo como maior velocidade em módulo (despreze a resistência do ar).

Dados do problema:

  • Velocidade de lançamento: v0;
  • Altura do ponto de lançamento: h.

Solução:

  • Esfera A:

Adotamos um Nível de Referência (N.R.) no solo. Usando o Princípio da Conservação da Energia Mecânica, inicialmente a esfera possui Energia Potencial \( E_p^i \), devido à altura de onde é lançada em relação ao referencial e Energia Cinética \( E_c^i \), devido à velocidade inicial v0 com que é lançada. Quando atinge o solo sua Energia Potencial é nula, a altura em relação ao referencial é zero, e possui Energia Cinética \( E_c^f \), devido à velocidade com que chega ao solo (Figura 1)

\[ \begin{gather} E_m^i=E_m^f \\[5pt] E_p^i+E_c^i=E_c^f \end{gather} \]
A Energia Potencial é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_p=mgh} \tag{I} \end{gather} \]
Figura 1

A Energia Cinética é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_c=\frac{mv^2}{2}} \tag{II} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \cancel mgh+\frac{\cancel mv_0^2}{2}=\frac{\cancel mv^2}{2} \end{gather} \]

multiplicando ambos os lados da equação por 2

\[ \begin{gather} 2gh+2\frac{v_0^2}{2}=2\frac{v^2}{2} \\[5pt] 2gh+v_0^2=v^2 \\[5pt] v=\sqrt{v_0^2+2gh\;} \tag{III} \end{gather} \]
  • Esfera B:

O movimento da esfera se divide em duas partes, a primeira é um lançamento vertical para cima, a esfera sobe até uma altura H, onde sua velocidade se anula, então começa a segunda parte do movimento que é uma queda livre a partir do repouso.
Na primeira parte (Figura 2-A) a esfera possui Energia Potencial \( E_{p1}^i \), devido à altura de que é lançada e Energia Cinética \( E_{c1}^i \) da velocidade inicial de lançamento. Quando atinge a altura H a esfera possui Energia Potencial \( E_{p1}^f \), mas como a velocidade se anula para começar a cair, sua Energia Cinética \( E_{c1}^f \) é zero, a altura atingida pela esfera será

\[ \begin{gather} E_{m1}^i=E_{m1}^f \\[5pt] E_{p1}^i+E_{c1}^i=E_{p1}^f \end{gather} \]

substituindo as equações (I) e (II)

\[ \begin{gather} \cancel mgh+\frac{\cancel mv_0^2}{2}=\cancel mgH \end{gather} \]

multiplicando ambos os lados da equação por 2

\[ \begin{gather} 2gh+2\frac{v_0^2}{2}=2gH \\[5pt] 2gh+v_0^2=2gH \\[5pt] H=\frac{2gh+v_0^2}{2g} \tag{IV} \end{gather} \]
Figura 2

Na segunda parte do movimento (Figura 2-B) a esfera possui Energia Potencial \( E_{p2}^i \), devido à altura de onde cai em queda livre e sua Energia Cinética \( E_{c2}^i \) é zero, a esfera parte do repouso. Quando atinge o solo a esfera não possui Energia Potencial \( E_{p2}^f \), sua altura é zero em relação ao referencial, e possui Energia Cinética \( E_{c2}^f \) devido à velocidade com que chega ao solo, a sua velocidade será

\[ \begin{gather} E_{m2}^i=E_{m2}^f \\[5pt] E_{p2}^i=E_{c2}^f \end{gather} \]

substituindo as equações (I) e (II)

\[ \begin{gather} \cancel mgH=\frac{\cancel mv^2}{2} \end{gather} \]

substituindo a altura H pelo valor encontrado em (IV)

\[ \begin{gather} g\left(\frac{2gh+v_0^2}{2g}\right)=\frac{v^2}{2} \\[5pt] v^2=\cancel{2g}\left(\frac{2gh+v_0^2}{\cancel{2g}}\right) \\[5pt] v^2=2gh+v_0^2 \\[5pt] v=\sqrt{v_0^2+2gh} \tag{V} \end{gather} \]
  • Esfera C:

Analogamente ao item (a) temos que, inicialmente a esfera possui Energia Potencial \( E_p^i \), devido à altura de onde é lançada em relação ao referencial e Energia Cinética \( E_c^i \), devido à velocidade inicial com que é lançada, v0, independentemente da direção. Quando atinge o solo sua Energia Potencial é nula, a altura em relação ao referencial é zero, e possui Energia Cinética \( E_c^f \), devido à velocidade com que chega ao solo (Figura 3)

\[ \begin{gather} E_m^i=E_m^f \\[5pt] E_p^i+E_c^i=E_c^f \end{gather} \]
substituindo as equações (I) e (II)
\[ \begin{gather} \cancel mgh+\frac{\cancel mv_0^2}{2}=\frac{\cancel mv^2}{2} \end{gather} \]
Figura 3

multiplicando ambos os lados da equação por 2

\[ \begin{gather} 2gh+\cancel 2\frac{v_0^2}{\cancel 2}=\cancel 2\frac{v^2}{\cancel 2} \\[5pt] 2gh+v_0^2=v^2 \\[5pt] v=\sqrt{v_0^2+2gh\;} \tag{VI} \end{gather} \]

Comparando as equações (III), (V) e (VI) vemos que todas as esferas chegam ao solo com a mesma velocidade .

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