Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência
publicidade   



Três esferas idênticas são lançadas de uma mesma altura h com velocidades de mesmo módulo. A esfera A é lançada verticalmente para baixo, B é lançada verticalmente para cima e C é lançada horizontalmente. Qual delas chega ao solo como maior velocidade em módulo (despreze a resistência do ar).


Dados do problema:
  • Velocidade de lançamento:    v0;
  • Altura do ponto de lançamento:    h.
Solução
  • Esfera A:
Adotamos um Nível de Referência (N.R.) no solo. Usando o Princípio da Conservação da Energia Mecânica, inicialmente a esfera possui Energia Potencial \( E_{P}^{i} \), devido à altura de onde é lançada em relação ao referencial e Energia Cinética \( E_{C}^{i} \), devido à velocidade inicial v0 com que é lançada. Quando atinge o solo sua Energia Potencial é nula, a altura em relação ao referencial é zero, e possui Energia Cinética \( E_{C}^{f} \), devido à velocidade com que chega ao solo (Figura 1)
\[ \begin{gather} E_{M}^{i}=E_{M}^{f}\\ E_{P}^{i}+E_{C}^{i}=E_{C}^{f} \end{gather} \]
A Energia Potencial é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{P}=mgh} \tag{I} \end{gather} \]
Figura 1

A Energia Cinética é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{C}=\frac{mv^{2}}{2}} \tag{II} \end{gather} \]
\[ \cancel{m}gh+\frac{\cancel{m}v_{0}^{2}}{2}=\frac{\cancel{m}v^{2}}{2} \]
multiplicando ambos os lados da equação por 2
\[ \begin{gather} 2gh+2\frac{v_{0}^{2}}{2}=2\frac{v^{2}}{2}\\ 2gh+v_{0}^{2}=v^{2}\\ v=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh\;} \tag{III} \end{gather} \]
  • Esfera B:
O movimento da esfera se divide em duas partes, a primeira é um lançamento vertical para cima, a esfera sobe até uma altura H, onde sua velocidade se anula, então começa a segunda parte do movimento que é uma queda livre a partir do repouso.
Na primeira parte (Figura 2-A) a esfera possui Energia Potencial \( E_{P1}^{i} \), devido à altura de que é lançada e Energia Cinética \( E_{C1}^{i} \) da velocidade inicial de lançamento. Quando atinge a altura H a esfera possui Energia Potencial \( E_{P1}^{f} \), mas como a velocidade se anula para começar a cair, sua Energia Cinética \( E_{C1}^{f} \) é zero, a altura atingida pela esfera será
\[ \begin{gather} E_{M1}^{i}=E_{M1}^{f}\\ E_{P1}^{i}+E_{C1}^{i}=E_{P1}^{f} \end{gather} \]
substituindo as expressões (I) e (II)
\[ \cancel{m}gh+\frac{\cancel{m}v_{0}^{2}}{2}=\cancel{m}gH \]
multiplicando ambos os lados da equação por 2
\[ \begin{gather} 2gh+2\frac{v_{0}^{2}}{2}=2gH\\ 2gh+v_{0}^{2}=2gH\\ H=\frac{2gh+v_{0}^{2}}{2g} \tag{IV} \end{gather} \]
Figura 2

Na segunda parte do movimento (Figura 2-B) a esfera possui Energia Potencial \( E_{P2}^{i} \), devido à altura de onde cai em queda livre e sua Energia Cinética \( E_{C2}^{i} \) é zero, a esfera parte do repouso. Quando atinge o solo a esfera não possui Energia Potencial \( E_{P2}^{f} \), sua altura é zero em relação ao referencial, e possui Energia Cinética \( E_{C2}^{f} \) devido à velocidade com que chega ao solo, a sua velocidade será
\[ \begin{gather} E_{M2}^{i}=E_{M2}^{f}\\ E_{P2}^{i}=E_{C2}^{f} \end{gather} \]
substituindo as expressões (I) e (II)
\[ \cancel{m}gH=\frac{\cancel{m}v^{2}}{2} \]
substituindo a altura H pelo valor encontrado em (IV)
\[ \begin{gather} g\left(\frac{2gh+v_{0}^{2}}{2g}\right)=\frac{v^{2}}{2}\\ v^{2}=\cancel{2g}\left(\frac{2gh+v_{0}^{2}}{\cancel{2g}}\right)\\ v^{2}=2gh+v_{0}^{2}\\ v=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh} \tag{V} \end{gather} \]
  • Esfera C:
Analogamente ao item (a) temos que, inicialmente a esfera possui Energia Potencial \( E_{P}^{i} \), devido à altura de onde é lançada em relação ao referencial e Energia Cinética \( E_{C}^{i} \), devido à velocidade inicial com que é lançada, v0, independentemente da direção. Quando atinge o solo sua Energia Potencial é nula, a altura em relação ao referencial é zero, e possui Energia Cinética \( E_{C}^{f} \), devido à velocidade com que chega ao solo (Figura 3)
\[ \begin{gather} E_{M}^{i}=E_{M}^{f}\\ E_{P}^{i}+E_{C}^{i}=E_{C}^{f} \end{gather} \]
substituindo as expressões (I) e (II)
\[ \cancel{m}gh+\frac{\cancel{m}v_{0}^{2}}{2}=\frac{\cancel{m}v^{2}}{2} \]
Figura 3

multiplicando ambos os lados da equação por 2
\[ \begin{gather} 2gh+\cancel{2}\frac{v_{0}^{2}}{\cancel{2}}=\cancel{2}\frac{v^{2}}{\cancel{2}}\\ 2gh+v_{0}^{2}=v^{2}\\ v=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh\;} \tag{VI} \end{gather} \]
Comparando as expressões (III), (V) e (VI) vemos que todas as esferas chegam ao solo com a mesma velocidade.
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .