Um corpo de massa M está ligado a dois outros, cada um de massa m, por meio de cordas que
passam por pequenas polias situadas no mesmo nível à distância 2L uma da outra. Inicialmente a
massa M ocupa uma posição equidistante das duas polias e está em repouso. Calcular a altura que
a massa M descerá após ser abandonada até atingir o equilíbrio.
Dados do problema:
- Massa dos blocos suspensos pelas polias: m;
- Massa do bloco suspenso entre as polias: M;
- Distância entre as polias: 2L.
Esquema do problema:
Adota-se um Nível de Referência (N.R.) a partir de onde é medida a Energia Potencial
dos blocos, os blocos de massa m estão apoiados no nível de referência, h = 0, e o bloco de
massa M está a uma altura X qualquer (Figura 1-A).
Quando o bloco de massa M é abandonado ele desce uma altura H até atingir uma nova posição de
repouso e os blocos de massa m sobem uma altura h (Figura 1-B).
Solução:
Usando o Princípio da Conservação da Energia Mecânica
\[
\begin{gather}
E_{\small M}^i=E_{\small M}^f
\end{gather}
\]
Nas situações inicial e final o sistema está em repouso, v = 0, não há Energia Cinética,
toda a energia do sistema está na forma de Energia Potencial dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{\small P}=mgh} \tag{I}
\end{gather}
\]
Aplicando a equação (I) para as duas situações
\[
\begin{gather}
MgX+mg\times 0+mg.0=Mg(X-H)+mgh+mgh \\[5pt]
MX=M(X-H)+2mh \\[5pt]
MX=MX-MH+2mh \\[5pt]
MH=MX-MX+2mh \\[5pt]
MH=2mh \tag{II}
\end{gather}
\]
Quando a massa
M desce a corda aumenta para um comprimento
d, que é o comprimento
L
que havia quando estava na posição horizontal somado ao comprimento
h que veio da subida do bloco
de massa
m (idem para o lado direito).
\[
\begin{gather}
d=L+h
\end{gather}
\]
então podemos obter o valor de
h para a equação (II) acima
\[
\begin{gather}
h=d-L \tag{III}
\end{gather}
\]
Na Figura 2 temos um triângulo retângulo que podemos usar para calcular o valor d do comprimento da
corda quando o sistema atinge a nova posição de repouso, aplicando o Teorema de Pitágoras
\[
\begin{gather}
d^2=L^2+H^2 \\[5pt]
d=\sqrt{L^2+H^2\;} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação (III)
\[
\begin{gather}
h=\sqrt{L^2+H^2\;}-L \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (V) na equação (II)
\[
\begin{gather}
MH=2m\left(\sqrt{L^2+H^2\;}-L\right) \\[5pt]
\frac{MH}{2m}=\sqrt{L^2+H^2\;}-L \\[5pt]
\frac{MH}{2m}+L=\sqrt{L^2+H^2\;}
\end{gather}
\]
elevando ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz
\[
\begin{gather}
\left(\frac{MH}{2m}+L\right)^2=\left(\sqrt{L^2+H^2\;}\right)^2
\end{gather}
\]
Observação: O termo do lado esquerdo é um
Produto Notável da forma
\[
\begin{gather}
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{M^2H^2}{4m^2}+2\times\frac{MH}{2m}L+L^2=L^2+H^2 \\[5pt]
\frac{M^2H^2}{4m^2}+\frac{MH}{m}L-H^2=L^2-L^2 \\[5pt]
\frac{M^2H^2}{4m^2}+\frac{MH}{m}L-H^2=0
\end{gather}
\]
colocando H em evidência
\[
\begin{gather}
H\left(\frac{M^2H}{4m^2}+\frac{ML}{m}-H\right)=0
\end{gather}
\]
daqui temos duas possibilidades ou H = 0 ou
\( \frac{M^2H}{4m^2}+\frac{ML}{m}-H=0 \),
a primeira possibilidade representa a própria situação inicial do problema, da segunda obtemos
\[
\begin{gather}
\frac{M^2H}{4m^2}+\frac{ML}{m}-H=0 \\[5pt]
H-\frac{M^2H}{4m^2}=\frac{ML}{m}
\end{gather}
\]
colocando H em evidência
\[
\begin{gather}
H\left(1-\frac{M^2}{4m^2}\right)=\frac{ML}{m} \\[5pt]
H\left(\frac{4m^2-M^2}{4m^2}\right)=\frac{ML}{m} \\[5pt]
H=\frac{ML}{\cancel m}\frac{4m^{\cancel 2}}{(4m^2-M^2)}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{H=\frac{4MmL}{4m^2-M^2}}
\end{gather}
\]
