Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência

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Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência

Um motociclista, em um globo da morte, imprime ao seu veículo uma velocidade mais que suficiente para passar pelo topo sem cair. Nessas condições desliga o motor e sem usar os freios passa a descrever uma circunferência situada num plano vertical. Desprezando o atrito e supondo P o peso da moto e seu ocupante, calcule:
a) A diferença entre as reações do globo no ponto mais baixo e mais alto da trajetória (N₂−N₁);
b) O valor de N₃, reação do globo no ponto D, supondo que N₁=2P.

Dado do problema:

Peso da moto e do piloto: P;
Reação em N₁: N₁=2P;
Adotamos M para a massa do conjunto moto e piloto e g para a aceleração da gravidade.

Solução

a) Isolando os corpos e aplicando a 2.ª Lei de Newton para o movimento circular

\begin{matrix} (I) & {\vec{F}}_{c p} = m {\vec{a}}_{c p} \end{matrix}

No conjunto moto e piloto atuam as seguintes forças (Figura 1)

$\vec{P}$ : força peso;
${\vec{N}}_{1}$ : reação normal do globo sobre o conjunto.

Aplicando a expressão (I)

\begin{matrix} (II) & P + N_{1} = m a_{c p} \end{matrix}

Figura 1

a aceleração centrípeta é dada por

\begin{matrix} (III) & a_{c p} = \frac{v^{2}}{r} \end{matrix}

sendo v₁ a velocidade da moto no ponto desejado e R o raio do globo, substituindo a expressão (III) na expressão (II)

\begin{matrix} (IV) & P + N_{1} = M \frac{v_{1}^{2}}{R} \end{matrix}

No ponto mais baixo do globo (Figura 2), isolando os corpos e aplicando a expressão (I)

\begin{matrix} (V) & N_{2} - P = M \frac{v_{2}^{2}}{R} \end{matrix}

Para encontrarmos a velocidade no ponto mais baixo do globo v₂ em função da velocidade na parte superior v₁ usamos o Princípio da Conservação da Energia Mecânica

\begin{matrix} E_{M}^{1} = E_{M}^{2} \end{matrix}

Adotamos a parte mais baixa do globo como Nível de Referência (N.R.), Figura 3, na parte mais alta (1) o corpo tem Energia Cinética e Energia Potencial e na parte mais baixa (2) apenas Energia Cinética

\begin{matrix} (VI) & E_{P}^{1} + E_{C}^{1} = E_{C}^{2} \end{matrix}

Figura 2

a Energia Potencial é dada por

\begin{matrix} (VII) & E_{P} = m g h \end{matrix}

a Energia Cinética é dada por

\begin{matrix} (VIII) & E_{C} = \frac{m v^{2}}{2} \end{matrix}

substituindo as expressões (VII) e (VIII) na expressão (VI) para as situações 1 e 2

\begin{matrix} \frac{M v_{1}^{2}}{2} + M g (2 R) = \frac{M v_{2}^{2}}{2} \end{matrix}

multiplicando ambos os lados da euquação por 2

\begin{matrix} \frac{v_{1}^{2}}{2} + 2 g R = \frac{v_{2}^{2}}{2} (\times 2) \\ 2 . \frac{v_{1}^{2}}{2} + 2.2 g R = 2 . \frac{v_{2}^{2}}{2} \\ (IX) & v_{2}^{2} = v_{1}^{2} + 4 g R \end{matrix}

Substituindo a expressão (IX) na expressão (V)

\begin{matrix} N_{2} - P = \frac{M}{R} (v_{1}^{2} + 4 g R) \\ N_{2} - P = M \frac{v_{1}^{2}}{R} + \frac{4 M g R}{R} \end{matrix}

Figura 3

Do lado direito da igualdade o primeiro termo é dado pela expressão (IV)

\begin{matrix} N_{2} - P = P + N_{1} + 4 M g \\ (X) & N_{2} - N_{1} = P + P + 4 M g \end{matrix}

a força peso é dada por

\begin{matrix} (XI) & P = m g \end{matrix}

substituindo a expressão (XI) na expressão (X) para m=M

\begin{matrix} N_{2} - N_{1} = P + P + 4 P \end{matrix}

\begin{matrix} N_{2} - N_{1} = 6 P \end{matrix}

b) Para o cálculo de N₃ aplicamos a expressão (I) à situação mostrada na Figura 4. Na direção radial (no desenho representado pela horizontal em direção ao centro do globo) a resultante das forças é dada apenas pela reação N₃

\begin{matrix} (XII) & N_{3} = M \frac{v_{3}^{2}}{R} \end{matrix}

Para o cálculo de v₃ usamos novamente o Princípio da Conservação da Energia Mecânica

\begin{matrix} E_{M}^{1} = E_{M}^{3} \end{matrix}

Figura 4

Novamente sendo a parte mais baixa do globo como Nível de Referência (N.R.), nos pontos (1) e (3) o corpo tem energias cinética e potencial (Figura 5)

\begin{matrix} E_{P}^{1} + E_{C}^{1} = E_{P}^{3} + E_{C}^{3} \\ 2 M g R + \frac{M v_{1}^{2}}{2} = M g R + \frac{M v_{3}^{2}}{2} \end{matrix}

multiplicando ambos os lados da equação por 2

Figura 5

\begin{matrix} 2 g R + \frac{v_{1}^{2}}{2} = g R + \frac{v_{3}^{2}}{2} (\times 2) \\ 2.2 g R + 2 . \frac{v_{1}^{2}}{2} = 2 g R + 2 . \frac{v_{3}^{2}}{2} \\ v_{3}^{2} = v_{1}^{2} + 4 g R - 2 g R \\ (XIII) & v_{3}^{2} = v_{1}^{2} + 2 g R \end{matrix}

Substituindo o valor de

v_{3}^{2}

obtido na expressão (XIII) na expressão (XII)

\begin{matrix} N_{3} = \frac{M}{R} (v_{1}^{2} + 2 g R) \\ N_{3} = M \frac{v_{1}^{2}}{R} + \frac{2 M g R}{R} \end{matrix}

Do lado direito da igualdade o primeiro termo é dado pela expressão (IV)

\begin{matrix} N_{3} = P + N_{1} + 2 M g \end{matrix}

usando o dado do problema que N₁ = 2P

\begin{matrix} N_{3} = P + 2 P + 2 P \end{matrix}

\begin{matrix} N_{3} = 5 P \end{matrix}

Observação: Poderíamos ter adotado o Nível de Referência (N.R.) passando pelo centro do globo e pelo ponto (3). Neste caso no ponto (1) o conjunto teria energias potencial e cinética e no ponto (3) somente energia cinética (Figura 6).

\begin{matrix} E_{P}^{1} + E_{C}^{1} = E_{C}^{3} \\ M g R + \frac{M v_{1}^{2}}{2} = \frac{M v_{3}^{2}}{2} \\ g R + \frac{v_{1}^{2}}{2} = \frac{v_{3}^{2}}{2} (\times 2) \\ 2 g R + 2. \frac{v_{1}^{2}}{2} = 2. \frac{v_{3}^{2}}{2} \\ v_{3}^{2} = v_{1}^{2} + 2 g R \end{matrix}

Figura 6

Aplicando o Princípio da Conservação da Energia Mecânica isto levaria ao mesmo resultado para

v_{3}^{2}

obtido anteriormente.

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