Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência
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Um motociclista, em um globo da morte, imprime ao seu veículo uma velocidade mais que suficiente para
passar pelo topo sem cair. Nessas condições desliga o motor e sem usar os freios passa a descrever uma
circunferência situada num plano vertical. Desprezando o atrito e supondo P o peso da moto e
seu ocupante, calcule:
a) A diferença entre as reações do globo no ponto mais baixo e mais alto da trajetória (N2−N1);
b) O valor de N3, reação do globo no ponto D, supondo que N1=2P.
a) A diferença entre as reações do globo no ponto mais baixo e mais alto da trajetória (N2−N1);
b) O valor de N3, reação do globo no ponto D, supondo que N1=2P.
Dado do problema:
- Peso da moto e do piloto: P;
- Reação em N1: N1=2P;
- Adotamos M para a massa do conjunto moto e piloto e g para a aceleração da gravidade.
Solução:
a) Isolando os corpos e aplicando a 2.ª Lei de Newton para o movimento circular
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{{\vec F}_{cp}=m{\vec a}_{cp}} \tag{I}
\end{gather}
\]
No conjunto moto e piloto atuam as seguintes forças (Figura 1)
- \( \vec P \): força peso;
- \( {\vec N}_1 \): reação normal do globo sobre o conjunto.
\[
\begin{gather}
P+N_1=ma_{cp} \tag{II}
\end{gather}
\]
a aceleração centrípeta é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a_{cp}=\frac{v^2}{r}} \tag{III}
\end{gather}
\]
sendo v1 a velocidade da moto no ponto desejado e R o raio do globo, substituindo a equação (III) na equação (II)
\[
\begin{gather}
P+N_1=M\frac{v_1^2}{R} \tag{IV}
\end{gather}
\]
No ponto mais baixo do globo (Figura 2), isolando os corpos e aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
N_2-P=M\frac{v_2^2}{R} \tag{V}
\end{gather}
\]
Para encontrarmos a velocidade no ponto mais baixo do globo v2 em função da
velocidade na parte superior v1 usamos o
Princípio da Conservação da Energia Mecânica
\[
\begin{gather}
E_m^1=E_m^2
\end{gather}
\]
Adotamos a parte mais baixa do globo como Nível de Referência (N.R.), Figura 3, na
parte mais alta (1) o corpo tem Energia Cinética e Energia Potencial e na parte mais
baixa (2) apenas Energia Cinética
\[
\begin{gather}
E_p^1+E_c^1=E_c^2 \tag{VI}
\end{gather}
\]
a Energia Potencial é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_p=mgh} \tag{VII}
\end{gather}
\]
a Energia Cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_c=\frac{mv^2}{2}} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (VII) e (VIII) na equação (VI) para as situações 1 e 2
\[
\begin{gather}
\frac{\cancel Mv_1^2}{2}+\cancel Mg(2R)=\frac{\cancel Mv_2^2}{2}
\end{gather}
\]
multiplicando ambos os lados da euquação por 2
\[
\begin{gather}
\qquad \qquad \frac{v_1^2}{2}+2gR=\frac{v_2^2}{2}\qquad (\times 2) \\[5pt]
\cancel 2\times\frac{v_1^2}{\cancel 2}+ 2.2gR=\cancel 2\times\frac{v_2^2}{\cancel 2} \\[5pt]
v_2^2=v_1^2+4gR \tag{IX}
\end{gather}
\]
Substituindo a equação (IX) na equação (V)
\[
\begin{gather}
N_2-P=\frac{M}{R}(v_1^2+4gR) \\[5pt]
N_2-P=M\frac{v_1^2}{R}+\frac{4Mg\cancel R}{\cancel R}
\end{gather}
\]
Do lado direito da igualdade o primeiro termo é dado pela equação (IV)
\[
\begin{gather}
N_2-P=P+N_1+4Mg \\[5pt]
N_2-N_1=P+P+4Mg \tag{X}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (XI) na equação (X) para m=M
\[
\begin{gather}
N_2-N_1=P+P+4P
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N_2-N_1=6P}
\end{gather}
\]
b) Para o cálculo de N3 aplicamos a equação (I) à situação mostrada na Figura 4. Na
direção radial (no desenho representado pela horizontal em direção ao centro do globo) a resultante das
forças é dada apenas pela reação N3
\[
\begin{gather}
N_3=M\frac{v_3^2}{R} \tag{XII}
\end{gather}
\]
Para o cálculo de v3 usamos novamente o
Princípio da Conservação da Energia Mecânica
\[
\begin{gather}
E_m^1=E_m^3
\end{gather}
\]
Novamente sendo a parte mais baixa do globo como Nível de Referência (N.R.), nos pontos
(1) e (3) o corpo tem energias cinética e potencial (Figura 5)
\[
\begin{gather}
E_p^1+E_c^1=E_p^3+E_c^3 \\[5pt]
2\cancel MgR+\frac{\cancel Mv_1^2}{2}=\cancel MgR+\frac{\cancel Mv_3^2}{2}
\end{gather}
\]
multiplicando ambos os lados da equação por 2
\[
\begin{gather}
\qquad \qquad 2gR+\frac{v_1^2}{2}=gR+\frac{v_3^2}{2}\qquad (\times 2) \\[5pt]
2.2gR+\cancel 2\times\frac{v_1^2}{\cancel 2}=2gR+\cancel 2\times\frac{v_3^2}{\cancel 2} \\[5pt]
v_3^2=v_1^2+4gR-2gR \\[5pt]
v_3^2=v_1^2+2gR \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Substituindo o valor de \( v_3^2 \) obtido na equação (XIII) na equação (XII)
\[
\begin{gather}
N_3=\frac{M}{R}(v_1^2+2gR) \\[5pt]
N_3=M\frac{v_1^2}{R}+\frac{2Mg\cancel R}{\cancel R}
\end{gather}
\]
Do lado direito da igualdade o primeiro termo é dado pela equação (IV)
\[
\begin{gather}
N_3=P+N_1+2Mg
\end{gather}
\]
usando o dado do problema que N1 = 2P
\[
\begin{gather}
N_3=P+2P+2P
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N_3=5P}
\end{gather}
\]
Observação: Poderíamos ter adotado o Nível de Referência (N.R.) passando pelo
centro do globo e pelo ponto (3). Neste caso no ponto (1) o conjunto teria energias potencial e cinética
e no ponto (3) somente energia cinética (Figura 6).
Figura 6
Aplicando o Princípio da Conservação da Energia Mecânica isto levaria ao mesmo resultado para
\( v_3^2 \)
obtido anteriormente.
\[
\begin{gather}
E_p^1+E_c^1=E_c^3 \\[5pt]
MgR+\frac{Mv_1^2}{2}=\frac{Mv_3^2}{2} \\[5pt]
\qquad \qquad gR+\frac{v_1^2}{2}=\frac{v_3^2}{2}\qquad (\times 2) \\[5pt]
2gR+2\times\frac{v_1^2}{2}=2\times\frac{v_3^2}{2} \\[5pt]
v_3^2=v_1^2+2gR
\end{gather}
\]
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