Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência
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Um motociclista, em um globo da morte, imprime ao seu veículo uma velocidade mais que suficiente para
passar pelo topo sem cair. Nessas condições desliga o motor e sem usar os freios passa a descrever uma
circunferência situada num plano vertical. Desprezando o atrito e supondo P o peso da moto e
seu ocupante, calcule:
a) A diferença entre as reações do globo no ponto mais baixo e mais alto da trajetória (N2−N1);
b) O valor de N3, reação do globo no ponto D, supondo que N1=2P.
a) A diferença entre as reações do globo no ponto mais baixo e mais alto da trajetória (N2−N1);
b) O valor de N3, reação do globo no ponto D, supondo que N1=2P.
Dado do problema:
- Peso da moto e do piloto: P;
- Reação em N1: N1=2P;
- Adotamos M para a massa do conjunto moto e piloto e g para a aceleração da gravidade.
a) Isolando os corpos e aplicando a 2.ª Lei de Newton para o movimento circular
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{{\vec{F}}_{cp}=m{\vec{a}}_{cp}} \tag{I}
\end{gather}
\]
No conjunto moto e piloto atuam as seguintes forças (Figura 1)
- \( \vec{P} \): força peso;
- \( {\vec{N}}_{1} \): reação normal do globo sobre o conjunto.
\[
\begin{gather}
P+N_{1}=ma_{cp} \tag{II}
\end{gather}
\]
a aceleração centrípeta é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a_{cp}=\frac{v^{2}}{r}} \tag{III}
\end{gather}
\]
sendo v1 a velocidade da moto no ponto desejado e R o raio do globo, substituindo a
expressão (III) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
P+N_{1}=M\frac{v_{1}^{2}}{R} \tag{IV}
\end{gather}
\]
No ponto mais baixo do globo (Figura 2), isolando os corpos e aplicando a expressão (I)
\[
\begin{gather}
N_{2}-P=M\frac{v_{2}^{2}}{R} \tag{V}
\end{gather}
\]
Para encontrarmos a velocidade no ponto mais baixo do globo v2 em função da
velocidade na parte superior v1 usamos o
Princípio da Conservação da Energia Mecânica
\[
\begin{gather}
E_{M}^{1}=E_{M}^{2}
\end{gather}
\]
Adotamos a parte mais baixa do globo como Nível de Referência (N.R.), Figura 3, na
parte mais alta (1) o corpo tem Energia Cinética e Energia Potencial e na parte mais
baixa (2) apenas Energia Cinética
\[
\begin{gather}
E_{P}^{1}+E_{C}^{1}=E_{C}^{2} \tag{VI}
\end{gather}
\]
a Energia Potencial é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{P}=mgh} \tag{VII}
\end{gather}
\]
a Energia Cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{C}=\frac{mv^{2}}{2}} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VII) e (VIII) na expressão (VI) para as situações 1 e 2
\[
\begin{gather}
\frac{\cancel{M}v_{1}^{2}}{2}+\cancel{M}g(2R)=\frac{\cancel{M}v_{2}^{2}}{2}
\end{gather}
\]
multiplicando ambos os lados da euquação por 2
\[
\begin{gather}
\qquad \qquad \frac{v_{1}^{2}}{2}+2gR=\frac{v_{2}^{2}}{2}\qquad (\times 2)\\[5pt]
\cancel{2}.\frac{v_{1}^{2}}{\cancel{2}}+ 2.2gR=\cancel{2}.\frac{v_{2}^{2}}{\cancel{2}}\\[5pt]
v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+4gR \tag{IX}
\end{gather}
\]
Substituindo a expressão (IX) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
N_{2}-P=\frac{M}{R}(v_{1}^{2}+4gR)\\[5pt]
N_{2}-P=M\frac{v_{1}^{2}}{R}+\frac{4Mg\cancel{R}}{\cancel{R}}
\end{gather}
\]
Do lado direito da igualdade o primeiro termo é dado pela expressão (IV)
\[
\begin{gather}
N_{2}-P=P+N_{1}+4Mg\\[5pt]
N_{2}-N_{1}=P+P+4Mg \tag{X}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (XI) na expressão (X) para m=M
\[
\begin{gather}
N_{2}-N_{1}=P+P+4P
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N_{2}-N_{1}=6P}
\end{gather}
\]
b) Para o cálculo de N3 aplicamos a expressão (I) à situação mostrada na Figura 4. Na
direção radial (no desenho representado pela horizontal em direção ao centro do globo) a resultante das
forças é dada apenas pela reação N3
\[
\begin{gather}
N_{3}=M\frac{v_{3}^{2}}{R} \tag{XII}
\end{gather}
\]
Para o cálculo de v3 usamos novamente o
Princípio da Conservação da Energia Mecânica
\[
\begin{gather}
E_{M}^{1}=E_{M}^{3}
\end{gather}
\]
Novamente sendo a parte mais baixa do globo como Nível de Referência (N.R.), nos pontos
(1) e (3) o corpo tem energias cinética e potencial (Figura 5)
\[
\begin{gather}
E_{P}^{1}+E_{C}^{1}=E_{P}^{3}+E_{C}^{3}\\[5pt]
2\cancel{M}gR+\frac{\cancel{M}v_{1}^{2}}{2}=\cancel{M}gR+\frac{\cancel{M}v_{3}^{2}}{2}
\end{gather}
\]
multiplicando ambos os lados da equação por 2
\[
\begin{gather}
\qquad \qquad 2gR+\frac{v_{1}^{2}}{2}=gR+\frac{v_{3}^{2}}{2}\qquad (\times 2)\\[5pt]
2.2gR+\cancel{2}.\frac{v_{1}^{2}}{\cancel{2}}=2gR+\cancel{2}.\frac{v_{3}^{2}}{\cancel{2}}\\[5pt]
v_{3}^{2}=v_{1}^{2}+4gR-2gR\\[5pt]
v_{3}^{2}=v_{1}^{2}+2gR \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Substituindo o valor de
\( v_{3}^{2} \)
obtido na expressão (XIII) na expressão (XII)
\[
\begin{gather}
N_{3}=\frac{M}{R}(v_{1}^{2}+2gR)\\[5pt]
N_{3}=M\frac{v_{1}^{2}}{R}+\frac{2Mg\cancel{R}}{\cancel{R}}
\end{gather}
\]
Do lado direito da igualdade o primeiro termo é dado pela expressão (IV)
\[
\begin{gather}
N_{3}=P+N_{1}+2Mg
\end{gather}
\]
usando o dado do problema que N1 = 2P
\[
\begin{gather}
N_{3}=P+2P+2P
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N_{3}=5P}
\end{gather}
\]
Observação: Poderíamos ter adotado o Nível de Referência (N.R.) passando pelo
centro do globo e pelo ponto (3). Neste caso no ponto (1) o conjunto teria energias potencial e cinética
e no ponto (3) somente energia cinética (Figura 6).
Figura 6
Aplicando o Princípio da Conservação da Energia Mecânica isto levaria ao mesmo resultado para
\( v_{3}^{2} \)
obtido anteriormente.
\[
\begin{gather}
E_{P}^{1}+E_{C}^{1}=E_{C}^{3}\\[5pt]
MgR+\frac{Mv_{1}^{2}}{2}=\frac{Mv_{3}^{2}}{2}\\[5pt]
\qquad \qquad gR+\frac{v_{1}^{2}}{2}=\frac{v_{3}^{2}}{2}\qquad (\times 2)\\[5pt]
2gR+2.\frac{v_{1}^{2}}{2}=2.\frac{v_{3}^{2}}{2}\\[5pt]
v_{3}^{2}=v_{1}^{2}+2gR
\end{gather}
\]
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