Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência
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Na figura, a mola é ideal, a situação (a) é de equilíbrio estável do sistema massa-mola, e a situação (b) é a da mola em repouso. Abandonando-se o bloco M como indica a situação (b), determinar:
a) A constante elástica da mola;
b) A velocidade máxima atingida pelo bloco M.


Dados do problema:
  • Altura da queda do bloco M até atingir a mola:    h;
  • Distância que a mola é comprimida sob ação do bloco M:    d.
Solução

a) Para o cálculo da constante elástica da mola usamos a situação de equilíbrio mostrada em (a), Figura 1. As forças que atuam no bloco são:
  • \( {\vec{F}}_{E} \): força elástica devido à mola;
  • \( \vec{P} \): peso do bloco M.
Como o sistema está em equilíbrio, a soma de todas as forças que atuam sobre o bloco é igual a zero.
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum F=0} \end{gather} \]
adotando-se um sistema de referência orientado para baixo e aplicando esta condição à Figura 1
\[ \begin{gather} P-F_{E}=0 \tag{I} \end{gather} \]
Figura 1

a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{II} \end{gather} \]
a força elástica da mola é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{E}=kx} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo as expressões (II) e (III) na expressão (I) e x=d
\[ \begin{gather} mg-kx=0\\[5pt] mg=kx \end{gather} \]
a constante da mola será
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {k=\frac{mg}{d}} \end{gather} \]


b) Para calcular a velocidade máxima atingida pelo bloco, dividimos o problema em duas partes; em primeiro lugar a queda do bloco M até atingir a mola e em segundo a compressão da mola até a posição de equilíbrio.
Na primeira parte o bloco está em queda livre, sob a ação da aceleração da gravidade partindo do repouso. Nestas condições podemos utilizar o Princípio da Conservação da Energia Mecânica. Tomando-se o Nível de Referência (N.R.) para esta parte do movimento na plataforma da mola. No ponto de onde o bloco é solto só temos Energia Potencial, \( E_{P}^{i} \), devido a altura em relação ao referencial, e no ponto onde o bloco bate na mola só temos Energia Cinética, \( E_{C}^{f} \), devido a velocidade (Figura 2)
\[ \begin{gather} E_{M}^{i}=E_{M}^{f}\\ E_{P}^{i}=E_{C}^{f} \tag{IV} \end{gather} \]
a Energia Potencial é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{P}=mgh} \tag{V} \end{gather} \]
Figura 2

a Energia Cinética é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{C}=\frac{mv^{2}}{2}} \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo as expressões (V) e (VI) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} \cancel{m}gh=\frac{\cancel{m}v^{2}}{2}\\[5pt] gh=\frac{v^{2}}{2}\\[5pt] v^{2}=2gh\\[5pt] v=\sqrt{2gh\;} \tag{VII} \end{gather} \]
Na segunda parte (Figura 3-a) vemos que no momento em que o bloco bate na mola estão atuando no bloco a força peso e a força elástica da mola, ainda pequena, e que aumenta com a compressão da mola, neste ponto a aceleração do bloco é positiva (a>0) e a velocidade também é positiva (v>0). A medida que o bloco comprime a mola a força elástica aumenta até se igualar à força peso (Figura 3-b), neste ponto como as duas forças se equivalem a aceleração é zero (ponto de equilíbrio estável dado no problema) e a velocidade atingiu seu valor máximo (valor pedido no problema).

Figura 3

Na Figura 3-c o bloco passou do ponto de equilíbrio estável, a força elástica da mola supera o valor da força peso e a resultante das forças é "para cima", a aceleração "muda de sinal" (a<0), mas a velocidade continua "para baixo" (v>0) ela começa a diminuir em relação ao valor máximo atingido na situação anterior.
Então a posição em que a velocidade do bloco é máxima é a posição de equilíbrio, para calcular a sua velocidade neste ponto vamos utilizar novamente o Princípio da Conservação da Energia Mecânica (Figura 4). Adotando-se o nível de referência na altura de equilíbrio, temos que no ponto inicial (onde o bloco bate na mola) há Energia Potencial, \( E_{P}^{i} \), devido à altura d em relação ao nível de referência, e Energia Cinética, \( E_{C}^{i} \), devido à velocidade inicial v0 dado pelo valor (VII) calculado acima. No ponto d, adotado como referência, a Energia Potencial é zero (não há altura), mas temos Energia Cinética, \( E_{C}^{f} \), devido a máxima velocidade do bloco e Energia Potencial Elástica, \( E_{E} \), devido a compressão da mola.
\[ \begin{gather} E_{M}^{i}=E_{M}^{f}\\ E_{C}^{i}+E_{P}^{i}=E_{C}^{f}+E_{E} \end{gather} \]
Figura 4

as energias potencial e cinética são dadas pelas expressões (V) e (VI) respectivamente e a energia potencial elástica é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{E}=\frac{kx^{2}}{2}} \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo as expressões (V), (VI) e (VIII) para as situações inicial e final, e usando o valor de k calculado no item (a) e x=d
\[ \begin{gather} \frac{mv_{0}^{2}}{2}+mgd=\frac{mv^{2}}{2}+\frac{kd^{2}}{2}\\[5pt] \frac{1}{2}m\left(\sqrt{2gh}\right)^{2}+mgd=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}\frac{mg}{d}d^{2}\\[5pt] \frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}m2gh+mgd-\frac{1}{2}mgd\\[5pt] \cancel{\frac{1}{2}m}v^{2}=\cancel{\frac{1}{2}m}2gh+\cancel{\frac{1}{2}m}gd\\[5pt] v^{2}=2gh+gd\\[5pt] v^{2}=g(2h+d) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v=\sqrt{g(2h+d)}} \]
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