Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência
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Um garoto está sentado sobre um iglu de forma hemisférica, conforme ilustra a figura. Se ele começar a deslizar a partir do repouso, desprezando atritos, a que altura h relativa à horizontal estará o ponto O em que ele perderá contato com a calota hemisférica de raio R?


Dado do problema:
  • Raio do iglu:    R.
Esquema do problema:

Quando o garoto está no topo do iglu as forças que atuam nele, são a força peso \( \vec{P} \) e a força normal de reação \( \vec{N} \). A condição para que o garoto perca contato com a calota deve ser quando a força normal de reação seja igual a zero, ele descola do iglu e não há mais reação do iglu sobre o garoto. Nesse momento a única força atuando nele será o seu peso que pode ser decomposto em duas componentes, uma componente normal, \( \vec P_{N} \), na direção radial, e outra componente tangencial, \( \vec P_{T} \), na direção da velocidade (Figura 1).
Figura 1

Solução

Pelo Princípio da Conservação da Energia Mecânica, a energia do garoto no topo do iglu deve ser igual a energia no ponto O onde ele perde contato com o hemisfério. Tomando-se o chão como Nível de Referência (N.R.), a partir do qual a Energia Potencial será medida temos que, no topo do iglu o garoto está em repouso, sua velocidade é igual a zero, portanto ele só possui Energia Potencial proporcional a R. No ponto O ele possui Energia Cinética devido a velocidade v, e Energia Potencial proporcional a altura h
\[ \begin{gather} E_{M}^{topo}=E_{M}^{O}\\[5pt] E_{P}^{topo}=E_{C}^{O} \end{gather} \]
a Energia Potencial é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{P}=mgH} \end{gather} \]
a Energia Cinética é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{C}=\frac{mv^{2}}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \cancel{m}gR=\frac{\cancel{m}v^{2}}{2}+\cancel{m}gh\\[5pt] gR=\frac{v^{2}}{2}+gh \tag{I} \end{gather} \]
Para a determinação de v, vemos pela Figura 2 que o ângulo formado entre o raio R do iglu e a altura h é θ
\[ \begin{gather} \cos \theta =\frac{h}{R} \tag{II} \end{gather} \]
Usando a 2.ª Lei de Newton para movimento de rotação
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec{F}}_{cp}=m{\vec{a}}_{cp}} \tag{III} \end{gather} \]
Figura 2

A componente normal do peso na direção radial é dada por
\[ \begin{gather} P_{N}=P\cos \theta \tag{IV} \end{gather} \]
é a força centrípeta a que o garoto está submetido e a aceleração centrípeta é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^{2}}{R}} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo as expressões (IV) e (V) na expressão (III)
\[ \begin{gather} P\cos \theta =m\frac{v^{2}}{R} \end{gather} \]
a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \cancel{m}g\cos \theta =\cancel{m}\frac{v^{2}}{R}\\[5pt] g\cos \theta =\frac{v^{2}}{R} \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) na expressão (VI)
\[ \begin{gather} g\frac{h}{\cancel{R}}=\frac{v^{2}}{\cancel{R}}\\[5pt] v^{2}=gh \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VII) na expressão (I)
\[ \begin{gather} \cancel{g}R=\frac{\cancel{g}h}{2}+\cancel{g}h\\[5pt] R=\frac{h}{2}+h\\[5pt] R=\frac{h+2h}{2}\\[5pt] R=\frac{3h}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {h=\frac{2}{3}R} \end{gather} \]
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