Um garoto está sentado sobre um iglu de forma hemisférica, conforme ilustra a figura. Se ele começar a
deslizar a partir do repouso, desprezando atritos, a que altura h relativa à horizontal estará
o ponto O em que ele perderá contato com a calota hemisférica de raio R?
Dado do problema:
Esquema do problema:
Quando o garoto está no topo do iglu as forças que atuam nele, são a força peso
\( \vec P \)
e a força normal de reação
\( \vec N \).
A condição para que o garoto perca contato com a calota deve ser quando a força normal de reação
seja igual a zero, ele descola do iglu e não há mais reação do iglu sobre o garoto. Nesse momento a
única força atuando nele será o seu peso que pode ser decomposto em duas componentes, uma componente
normal,
\( \vec P_{\small N} \),
na direção radial, e outra componente tangencial,
\( \vec P_{\small T} \),
na direção da velocidade (Figura 1).
Solução:
Pelo Princípio da Conservação da Energia Mecânica, a energia do garoto no topo do iglu deve ser
igual a energia no ponto O onde ele perde contato com o hemisfério. Tomando-se o chão como
Nível de Referência (N.R.), a partir do qual a Energia Potencial será medida temos
que, no topo do iglu o garoto está em repouso, sua velocidade é igual a zero, portanto ele só possui
Energia Potencial proporcional a R. No ponto O ele possui Energia Cinética
devido a velocidade v, e Energia Potencial proporcional a altura h
\[
\begin{gather}
E_{\small M}^{topo}=E_{\small M}^O \\[5pt]
E_{\small P}^{topo}=E_{\small C}^O
\end{gather}
\]
a Energia Potencial é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{\small P}=mgH}
\end{gather}
\]
a Energia Cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{\small C}=\frac{mv^2}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\cancel mgR=\frac{\cancel mv^2}{2}+\cancel mgh \\[5pt]
gR=\frac{v^2}{2}+gh \tag{I}
\end{gather}
\]
Para a determinação de v, vemos pela Figura 2 que o ângulo formado entre o raio R do iglu e a
altura h é θ
\[
\begin{gather}
\cos\theta=\frac{h}{R} \tag{II}
\end{gather}
\]
Usando a
2.ª Lei de Newton para movimento de rotação
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{{\vec F}_{cp}=m{\vec a}_{cp}} \tag{III}
\end{gather}
\]
A componente normal do peso na direção radial é dada por
\[
\begin{gather}
P_{\small N}=P\cos\theta \tag{IV}
\end{gather}
\]
é a força centrípeta a que o garoto está submetido e a aceleração centrípeta é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a_{cp}=\frac{v^2}{R}} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (IV) e (V) na equação (III)
\[
\begin{gather}
P\cos\theta=m\frac{v^2}{R}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\cancel mg\cos\theta=\cancel m\frac{v^2}{R} \\[5pt]
g\cos\theta=\frac{v^2}{R} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (II) na equação (VI)
\[
\begin{gather}
g\frac{h}{\cancel R}=\frac{v^2}{\cancel R} \\[5pt]
v^2=gh \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VII) na equação (I)
\[
\begin{gather}
\cancel gR=\frac{\cancel gh}{2}+\cancel gh \\[5pt]
R=\frac{h}{2}+h \\[5pt]
R=\frac{h+2h}{2} \\[5pt]
R=\frac{3h}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{h=\frac{2}{3}R}
\end{gather}
\]
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