Exercício Resolvido de Dinâmica
publicidade

Um carro percorre uma pista curva de raio R e inclinação θ. Qual será a velocidade máxima que o carro pode ter para fazer a curva independente do atrito?

Dados do problema:

  • Raio da curva: R;
  • Inclinação da curva: θ.

Esquema do problema:

Figura 1 - Curva inclinada no antigo autódromo de AVUS em Berlim, Alemanha.

As forças que atuam no carro são a força peso \(\vec P \) verticalmente para baixo, a força normal de reação \( \vec N \) perpendicularmente à pista (Figura 1).

Solução:

O ângulo de inclinação da pista é θ, a força peso \(\vec P \) é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90°, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, portanto, o ângulo entre a força peso \(\vec P \) e a pista inclinada será (Figura 2-A)

\[ \begin{gather} \alpha+\theta+90°=180°\Rightarrow\alpha=180°-90°-\theta\Rightarrow\alpha=90°-\theta \end{gather} \]
Figura 2

O ângulo entre a pista inclinada e plano horizontal é dado igual à θ, o ângulo entre a força centrípeta \( {\vec F}_{cp} \) e a o plano inclinado também é θ, são ângulos alternos internos (Figura 2-B).
O ângulo entre a força normal de reação \( \vec N \) e a força centrípeta \( {\vec F}_{cp} \) é α (Figura 2-C), e o ângulo entre a força normal e o eixo vertical é θ, \( \alpha+\theta=90° \) (Figura 2-D). Este ângulo será usado para decompor a força normal em suas componentes (Figura 3).

Desenhando as forças em um sistema de eixos coordenados xy podemos aplicar a 2.ª Lei de Newton para o movimento circular
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{cp}=m{\vec a}_{cp}} \tag{I} \end{gather} \]
Na direção x a força centrípeta resultante \( {\vec F}_{cp} \) é dada pela componente da força normal na direção x, \( {\vec N}_x \) (Figura 3)
\[ \begin{gather} F_{cp}=N_x \tag{II} \end{gather} \]
Figura 3

A componente Nx é dada por

\[ \begin{gather} N_x=N\operatorname{sen}\theta \tag{III} \end{gather} \]

A aceleração centrípeta é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^2}{R}} \tag{IV} \end{gather} \]

Substituindo as equações (III) e (IV) na equação (I)

\[ \begin{gather} N\operatorname{sen}\theta=m\frac{v^2}{R} \tag{V} \end{gather} \]

Na direção y não há movimento, a força peso \( \vec P \) e a componente da força normal de reação na direção y \( {\vec N}_y \) se anulam.

\[ \begin{gather} P=N_y \tag{VI} \end{gather} \]

A força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{VII} \end{gather} \]

A componente Ny é dada por

\[ \begin{gather} N_y=N\cos\theta \tag{VIII} \end{gather} \]

Substituindo as equações (VII) e (VIII) na equação (VI)

\[ \begin{gather} N\cos\theta=mg \tag{IX} \end{gather} \]

As equações (V) e (IX) formam um sistema de duas equações

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} N\operatorname{sen}\theta=m\dfrac{v^2}{R} \\ N\cos\theta=mg \end{array} \right. \end{gather} \]

dividindo a primeira equação pela segunda

\[ \begin{gather} \frac{\cancel N\operatorname{sen}\theta}{\cancel N\cos\theta}=\frac{\cancel m\dfrac{v^2}{R}}{\cancel mg} \end{gather} \]
Da Trigonometria \( \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}=\operatorname{tg}\theta \)
\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\theta=\frac{v^2}{Rg} \\[5pt] v^2=Rg\operatorname{tg}\theta \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v=\sqrt{Rg\operatorname{tg}\theta\;}} \end{gather} \]
publicidade