Exercício Resolvido de Dinâmica
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Uma pequena esfera de massa m é introduzida num recipiente cuja superfície interna é um hemisfério de raio R. O recipiente gira em torno do eixo vertical com velocidade angular ω. Determinar:
a) A intensidade da força que a esfera faz contra a parede;
b) O raio da circunferência descrita pela esfera quando em equilíbrio em relação ao recipiente.


Dados do problema:
  • Massa da esfera:    m;
  • Raio do hemisfério:    R;
  • Velocidade angular do hemisfério:    ω.
Esquema do problema:

O recipiente está girando e a esfera no seu interior fica equilibrada a uma determinada altura na superfície interma. Este sistema é equivalente a um recipiente em repouso com uma esfera girando no seu interior com velocidade ω.
As forças que atuam na esfera são a força peso \(\vec{P} \) verticalmente para baixo, a força normal de reação \( \vec{N} \) perpendicular à parede do hemisfério, apontada para o centro do hemisfério (Figura 1-A).

Figura 1

O hemisfério possui um raio R, a distância d é medida entre o centro do hemisfério e o centro da circunferência de raio r descrita pela esfera (Figura 1-B).

Solução

Desenhando as forças em um sistema de eixos coordenados xy podemos aplicar a 2.ª Lei de Newton para o movimento circular
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{cp}=m{\vec a}_{cp}} \tag{I} \end{gather} \]
a) A força que a esfera faz contra a parede do hemisfério é igual, em intensidade, a força que o hemisfério faz sobre a esfera. Estas forças formam um par de forças de ação e reação, conforme a 3.ª Lei de Newton.

Figura 2

A força centrípeta resultante \( {\vec{F}}_{cp} \) é dada pela componente da força normal na direção x, \( {\vec N}_{x} \) (Figura 2)
\[ \begin{gather} F_{cp}=N_{x} \tag{II} \end{gather} \]
a componente Nx é dada por
\[ \begin{gather} N_{x}=N\cos \theta \tag{III} \end{gather} \]
o cosseno será dado por (Figura 1-B)
\[ \begin{gather} \cos \theta =\frac{r}{R} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ \begin{gather} N_{x}=N\frac{r}{R} \tag{V} \end{gather} \]
A aceleração centrípeta é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^{2}}{r}} \tag{VI} \end{gather} \]
a velocidade em função da velocidade angular é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI)
\[ \begin{gather} a_{cp}=\frac{(\omega r)^{2}}{r}\\[5pt] a_{cp}=\frac{\omega^{2}r^{\cancel{2}}}{\cancel{r}}\\[5pt] a_{cp}=\omega^{2}r \tag{VIII} \end{gather} \]
Substituindo as expressões (V) e (VIII) na expressão (I)
\[ \begin{gather} N\frac{\cancel{r}}{R}=m\omega^{2}\cancel{r} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {N=Rm\omega ^{2}} \end{gather} \]

b) Na direção y não há movimento, a força peso \( \vec{P} \) e a componente da força normal de reação \( {\vec N}_{y} \) se anulam.
\[ \begin{gather} P=N_{y} \tag{IX} \end{gather} \]
a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{X} \end{gather} \]
a componente Ny é dada por
\[ \begin{gather} N_{y}=N\operatorname{sen}\theta \tag{XI} \end{gather} \]
o seno será dado por (Figura 1-B)
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta =\frac{d}{R} \tag{XII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (XII) e o resultado da força normal encontrada no item anterior na expressão (XI)
\[ \begin{gather} N_{y}=Rm\omega ^{2}\frac{d}{R} \tag{XIII} \end{gather} \]
substituindo as expressões (X) e (XIII) na expressão (IX)
\[ \begin{gather} \cancel{m}g=\cancel{R}\cancel{m}\omega^{2}\frac{d}{\cancel{R}}\\[5pt] g=\omega ^{2}d\\[5pt] d=\frac{g}{\omega ^{2}} \tag{XIV} \end{gather} \]
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo da Figura 1-B
\[ \begin{gather} R^{2}=d^{2}+r^{2} \end{gather} \]
substituindo o valor de d encontrado em (XIV)
\[ \begin{gather} R^{2}=\left(\frac{g}{\omega^{2}}\right)^{2}+r^{2}\\[5pt] R^{2}=\frac{g^{2}}{\omega^{4}}+r^{2}\\[5pt] r^{2}=R^{2}-\frac{g^{2}}{\omega ^{4}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {r=\sqrt{R^{2}-\frac{g^{2}}{\omega ^{4}}\;}} \end{gather} \]
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