Exercício Resolvido de Dinâmica
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Uma pequena esfera de massa m é introduzida num recipiente cuja superfície interna é um hemisfério de raio R. O recipiente gira em torno do eixo vertical com velocidade angular ω. Determinar:
a) A intensidade da força que a esfera faz contra a parede;
b) O raio da circunferência descrita pela esfera quando em equilíbrio em relação ao recipiente.

Dados do problema:

  • Massa da esfera: m;
  • Raio do hemisfério: R;
  • Velocidade angular do hemisfério: ω.

Esquema do problema:

O recipiente está girando e a esfera no seu interior fica equilibrada a uma determinada altura na superfície interma. Este sistema é equivalente a um recipiente em repouso com uma esfera girando no seu interior com velocidade ω.
As forças que atuam na esfera são a força peso \(\vec P \) verticalmente para baixo, a força normal de reação \( \vec N \) perpendicular à parede do hemisfério, apontada para o centro do hemisfério (Figura 1-A).

Figura 1

O hemisfério possui um raio R, a distância d é medida entre o centro do hemisfério e o centro da circunferência de raio r descrita pela esfera (Figura 1-B).

Solução:

Desenhando as forças em um sistema de eixos coordenados xy podemos aplicar a 2.ª Lei de Newton para o movimento circular
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{cp}=m{\vec a}_{cp}} \tag{I} \end{gather} \]
a) A força que a esfera faz contra a parede do hemisfério é igual, em intensidade, a força que o hemisfério faz sobre a esfera. Estas forças formam um par de forças de ação e reação, conforme a 3.ª Lei de Newton.
Figura 2

A força centrípeta resultante \( {\vec F}_{cp} \) é dada pela componente da força normal na direção x, \( {\vec N}_x \) (Figura 2)

\[ \begin{gather} F_{cp}=N_x \tag{II} \end{gather} \]

a componente Nx é dada por

\[ \begin{gather} N_x=N\cos\theta \tag{III} \end{gather} \]

o cosseno será dado por (Figura 1-B)

\[ \begin{gather} \cos\theta=\frac{r}{R} \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV) na equação (III)

\[ \begin{gather} N_x=N\frac{r}{R} \tag{V} \end{gather} \]

A aceleração centrípeta é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^2}{r}} \tag{VI} \end{gather} \]

a velocidade em função da velocidade angular é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo a equação (VII) na equação (VI)

\[ \begin{gather} a_{cp}=\frac{(\omega r)^2}{r} \\[5pt] a_{cp}=\frac{\omega^2r^{\cancel 2}}{\cancel r} \\[5pt] a_{cp}=\omega^2r \tag{VIII} \end{gather} \]

Substituindo as equações (V) e (VIII) na equação (I)

\[ \begin{gather} N\frac{\cancel r}{R}=m\omega^2\cancel r \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {N=Rm\omega^2} \end{gather} \]

b) Na direção y não há movimento, a força peso \( \vec P \) e a componente da força normal de reação \( {\vec N}_y \) se anulam.

\[ \begin{gather} P=N_y \tag{IX} \end{gather} \]

a força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{X} \end{gather} \]

a componente Ny é dada por

\[ \begin{gather} N_y=N\operatorname{sen}\theta \tag{XI} \end{gather} \]

o seno será dado por (Figura 1-B)

\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta=\frac{d}{R} \tag{XII} \end{gather} \]

substituindo a equação (XII) e o resultado da força normal encontrada no item anterior na equação (XI)

\[ \begin{gather} N_y=Rm\omega^2\frac{d}{R} \tag{XIII} \end{gather} \]

substituindo as equações (X) e (XIII) na equação (IX)

\[ \begin{gather} \cancel mg=\cancel R\cancel m\omega^2\frac{d}{\cancel R} \\[5pt] g=\omega^2d \\[5pt] d=\frac{g}{\omega^2} \tag{XIV} \end{gather} \]

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo da Figura 1-B

\[ \begin{gather} R^2=d^2+r^2 \end{gather} \]

substituindo o valor de d encontrado em (XIV)

\[ \begin{gather} R^2=\left(\frac{g}{\omega^2}\right)^2+r^2 \\[5pt] R^2=\frac{g^2}{\omega^4}+r^2 \\[5pt] r^2=R^2-\frac{g^2}{\omega^4} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {r=\sqrt{R^2-\frac{g^2}{\omega^4}\;}} \end{gather} \]
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