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a) A relação entre M1 e M2 para que o sistema permaneça em equilíbrio;
b) Calcular a aceleração do movimento e a forla de tensão na corda quando as massas são iguais, cada uma, a 5 kg.
Dada a aceleração da gravidade igual a 9,81 m/s2.
Dados do problema:
- Massas dos blocos: M1=M2=5 kg;
- Aceleração da gravidade: g=9,81 m/s2.
Esquema do problema:
Adota-se um sentido aleatório para a aceleração (Figura 1).
Solução:
Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam neles.
- Corpo de massa M1:
Adotamos um sistema de referência xy com o eixo-x paralelo ao plano inclinado e com o mesmo sentido da aceleração. Neste corpo atuam a força peso \( {\vec P}_1 \), a força de tensão na corda \( \vec T \) e a força normal de reação da superfície \( {\vec N}_1 \) (Figura 2-A).
A força peso pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela ao eixo-x
\( {\vec P}_{1\small P} \)
e a outra componente normal ou perpendicular
\( {\vec P}_{1\small N} \) (Figura 2-B).
No triângulo à esquerda, a força peso
\( {\vec P}_1 \)
é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre o plano inclinado e o plano
horizontal é dado igual à 60°, como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180° o ângulo α
entre a força peso
\( {\vec P}_1 \)
e a componente paralela
\( {\vec P}_{1\small P} \)
deve ser
No triângulo à direita, a componente normal da força peso \( {\vec P}_{1\small N} \) faz com o plano inclinado um ângulo de 90°, então o ângulo β entre a força peso \( {\vec P}_1 \) e a componente normal \( {\vec P}_{1\small N} \) deve ser
são ângulos complementares.
Desenhamos as forças em um sistema de eixos coordenados xy (Figura 2-C) e aplicamos a
2.ª Lei de Newton
Como não há movimento na direção y, a força de reação normal
\( {\vec N}_1 \)
e a componente normal do peso
\( {\vec P}_{1\small N} \)
se anulam.
Direção x:
a componente do peso na direção paralela é dada por
a força peso é dada por
para a massa M1
substituindo a equação (V) na equação (III)
substituindo a equação (VI) na equação (II)
- Corpo de massa M2:
Da mesma forma adotamos um sistema de referência xy com o eixo-x paralelo ao plano inclinado e sentido da aceleração. Neste corpo atuam a força peso \( {\vec P}_2 \), a força de tensão na corda \( \vec T \) e a força normal de reação da superfície \( {\vec N}_2 \) (Figura 3-A).
Analogamente a força peso pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela ao eixo-x
\( {\vec P}_{2\small P} \)
e a outra componente normal ou perpendicular
\( {\vec P}_{2\small N} \)
(Figura 3-B).
Neste caso o ângulo entre a força peso
\( {\vec P}_2 \)
e a componente normal
\( {\vec P}_{2\small N} \)
será 30°.
Desenhando as forças num sistema de eixos coordenados xy (Figura 3-C) e aplicamos a equação
(I).
Na direção y não há movimento, a força de reação normal
\( {\vec N}_2 \)
e a componente normal do peso
\( {\vec P}_{2\small N} \)
se anulam.
Direção x:
a componente do peso na direção paralela é dada por
usando a expresssão (IV) para a força peso da massa M2
substituindo a equação (X) na equação (IX)
substituindo a equação (XI) na equação (VIII)
a) As equações (VII) e (XII) formam um sistema de duas equações
Para que o sistema permaneça em equilíbrio devemos ter a somatória das forças igual a zero
dividindo a segunda equação pela primeira no sistema
b) Para encontrarmos a aceleração e a tensão na corda, como as massas são iguais fazemos M1=M2=M e substituímos no sistema de equações (XIII)
Este é um sistema de duas equações a duas incógnitas, a e T, somando estas duas equações
substituindo o valor dado para a aceleração da gravidade e sendo \( \sqrt{3\;}\approx 1,73 \)
o sinal de negativo na aceleração indica que o sentido do movimento será contrário àquele adotado na Figura 1
Subtraindo as equações do sistema
substituindo os valores do problema