O sistema esquematizado compõe-se de um elevador de massa M e um homem de massa m.
O elevador está suspenso por uma corda que passa por uma polia fixa e vem às mãos do operador, a
corda e a roldana são supostas ideais. O operador puxa a corda e sobe com aceleração constante
a, juntamente com o elevador. São supostos conhecidos M, m, a e
g. Determine a força que a plataforma exerce no operador.
Dados do problema:
- Massa do homem: m;
- Massa do elevador: M;
- Aceleração do conjunto: a;
- Aceleração da gravidade: g.
Solução:
Adotando o sentido da aceleração a como positivo, isolamos os corpos, encontramos as forças que
atuam em cada um deles e aplicamos a 2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m \vec a} \tag{I}
\end{gather}
\]
Homem (Figura 1):
- \( {\vec P}_h \): força peso do homem;
- \( \vec T \): tração aplicada pelo homem na corda;
- \( \vec N \): força de reação do elevador sobre o homem (força a determinar).
Neste problema só há movimento na direção vertical, aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
T+N-P_h=ma \tag{II}
\end{gather}
\]
Elevador (Figura 2)
- \( {\vec P}_e \): força peso do elevador;
- \( \vec T \): tração devido ao puxão que o homem dá na corda;
- \( \vec N \): força da ação do homem sobre o elevador.
Aplicando a equação (I) ao elevador
\[
\begin{gather}
T-N-P_e=Ma \tag{III}
\end{gather}
\]
As equações (II) e (III) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas, T e N
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
T+N-P_h=ma \\
T-N-P_e=Ma
\end{array}
\right.
\end{gather}
\]
como queremos obter o valor da força de reaçâo N que o elevador faz no homem, vamos subtrair a
segunda equação da primeira equação
\[
\begin{gather}
\frac{
\begin{aligned}
\cancel T+N-P_h=ma \\
\text{(-)}\qquad \cancel T-N-P_e=Ma
\end{aligned}
}
{0+2N-P_h+P_e=ma-Ma} \\[5pt]
N=\frac{P_h-P_e+ma-Ma}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
A força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
o peso do homem será dado por
\[
\begin{gather}
P_h=mg \tag{V}
\end{gather}
\]
o peso do elevador será dado por
\[
\begin{gather}
P_e=Mg \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (V) e (VI) na equação (IV)
\[
\begin{gather}
N=\frac{mg-Mg+ma-Ma}{2} \\[5pt]
N=\frac{g(m-M)+a(m-M)}{2}
\end{gather}
\]
colocando (m−M) em evidência
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N=\frac{(m-M)(g+a)}{2}}
\end{gather}
\]
EN
