Dois blocos, de massa m_A e m_B, são abandonados a partir do repouso sobre planos inclinados muito longos. O bloco A está sobre um plano que forma um ângulo α com a horizontal e o bloco B está sobre um plano com ângulo β. Adote a aceleração da gravidade local igual a g e não existe atrito entre os blocos e os planos inclinados. Determine a razão entre as distâncias percorridas pelos blocos até que ambos possuam a mesma velocidade em módulo.


Dados do problema:

• Massa do bloco A:    m_A;
• Massa do bloco B:    m_B;
• Velocidade inicial do bloco A:    v_0A = 0;
• Velocidade inicial do bloco B:    v_0B = 0;
• Ângulo de inclinação do plano A:    α;
• Ângulo de inclinação do plano B:    β;
• Aceleração da gravidade:    g;

Esquema do problema:

Adota-se, para cada plano, um sistema de referência apontado no sentido descendente do plano inclinado e com o eixo-x paralelo ao plano (Figura 1).


Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam em cada um deles.
Bloco A (Figura 2):

• \( {\vec P}_{A} \): força peso do bloco A;
• \( {\vec N}_{A} \): força normal de reação da superfície sobre o bloco A.

A força peso \( {\vec P}_{A} \) pode ser decomposta em duas comppnentes, uma componente paralela ao eixo-x \( {\vec P}_{AP} \) e a outra componente normal ou perpendicular \( {\vec{P}}_{AN} \) (Figura 2-A).


No triângulo à esquerda na Figura 2-B vemos que a força peso \( {\vec P}_{A} \) é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é igual à α como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, o ângulo θ entre a força peso e a componente paralela \( {\vec{P}}_{AP} \), deve ser No triângulo à direita as componentes do peso nas direções x e y são perpendiculares entre si, temos que o ângulo entre a força peso \( {\vec P}_{A} \) e a componente do peso na direção y, \( {\vec{P}}_{AN} \), deve ser Desenhamos as forças em um sistema de eixos coordenados xy (Figura 2-C) e aplicamos a 2.ª Lei de Newton.
Bloco B (Figura 3):

• \( {\vec P}_{B} \): força peso do bloco B;
• \( {\vec N}_{B} \): força normal de reação da superfície sobre o bloco B.

A força peso \( {\vec P}_{B} \) pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela ao eixo-x \( {\vec{P}}_{BP} \) e a outra normal ou perpendicular \( {\vec{P}}_{BN} \) (Figura 3-A).


No triângulo à esquerda na Figura 3-B vemos que a força peso \( {\vec P}_{B} \) é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é igual à β como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, o ângulo θ entre a força peso e a componente paralela \( {\vec{P}}_{BP} \), deve ser No triângulo à direita a componentes do peso nas direções x e y são perpendiculares entre si, temos que o ângulo entre a força peso \( {\vec P}_{B} \) e a componente do peso na direção y, \( {\vec{P}}_{BN} \), deve ser Desenhando as forças em um sistema de eixos xy (Figura 3-C) podemos aplicar a 2.ª Lei de Newton.

Solução

Usando a 2.ª Lei de Newton Bloco A:

• Direção x:

a componente paralela do peso é dada por a força peso é dada por para o bloco A substituindo a expressão (V) na expressão (III) substituindo a expressão (VI) na expressão (II) Aplicando a Equação de Torricelli, calculamos a distância percorrida, L_A, pelo bloco Bloco B:

• Direção x:

a componente paralela do peso é dada por para o bloco B, usando a expressão (IV) para força peso substituindo a expressão (XI) na expressão (X) substituindo a expressão (XII) na expressão (IX) Aplicando a expressão (VII) para o bloco B a distância percorrida L_B será Aplicando a condição dada no problema, de as velocidades dos dois blocos devem ser iguais, temos v_A = v_B = v. O problema diz que os planos são muitos longos, isto significa que os blocos podem descer até que suas velocidades sejam iguais antes de atingir o final do plano.
Dividindo a expressão (VIII) por (XIII)