Dois blocos, de massa m_A e m_B, são abandonados a partir do repouso sobre planos inclinados muito longos. O bloco A está sobre um plano que forma um ângulo α com a horizontal e o bloco B está sobre um plano com ângulo β. Adote a aceleração da gravidade local igual a g e não existe atrito entre os blocos e os planos inclinados. Determine a razão entre as distâncias percorridas pelos blocos até que ambos possuam a mesma velocidade em módulo.

Dados do problema:

• Massa do bloco A: m_A;
• Massa do bloco B: m_B;
• Velocidade inicial do bloco A: v_0A = 0;
• Velocidade inicial do bloco B: v_0B = 0;
• Ângulo de inclinação do plano A: α;
• Ângulo de inclinação do plano B: β;
• Aceleração da gravidade: g;

Esquema do problema:

Adota-se, para cada plano, um sistema de referência apontado no sentido descendente do plano inclinado e com o eixo-x paralelo ao plano (Figura 1).

Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam em cada um deles.
Bloco A (Figura 2):

• \( {\vec P}_{\small A} \): força peso do bloco A;
• \( {\vec N}_{\small A} \): força normal de reação da superfície sobre o bloco A.

A força peso \( {\vec P}_{\small A} \) pode ser decomposta em duas comppnentes, uma componente paralela ao eixo-x \( {\vec P}_{\small{AP}} \) e a outra componente normal ou perpendicular \( {\vec P}_{\small{AN}} \) (Figura 2-A).

No triângulo à esquerda na Figura 2-B vemos que a força peso \( {\vec P}_{\small A} \) é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é igual à α como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, o ângulo θ entre a força peso e a componente paralela \( {\vec P}_{\small{AP}} \), deve ser

No triângulo à direita as componentes do peso nas direções x e y são perpendiculares entre si, temos que o ângulo entre a força peso \( {\vec P}_{\small A} \) e a componente do peso na direção y, \( {\vec P}_{\small{AN}} \), deve ser

Desenhamos as forças em um sistema de eixos coordenados xy (Figura 2-C) e aplicamos a 2.ª Lei de Newton.
Bloco B (Figura 3):

• \( {\vec P}_{\small B} \): força peso do bloco B;
• \( {\vec N}_{\small B} \): força normal de reação da superfície sobre o bloco B.

A força peso \( {\vec P}_{\small B} \) pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela ao eixo-x \( {\vec P}_{\small{BP}} \) e a outra normal ou perpendicular \( {\vec P}_{\small{BN}} \) (Figura 3-A).

No triângulo à esquerda na Figura 3-B vemos que a força peso \( {\vec P}_{\small B} \) é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é igual à β como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, o ângulo θ entre a força peso e a componente paralela \( {\vec P}_{\small{BP}} \), deve ser

No triângulo à direita a componentes do peso nas direções x e y são perpendiculares entre si, temos que o ângulo entre a força peso \( {\vec P}_{\small B} \) e a componente do peso na direção y, \( {\vec P}_{\small{BN}} \), deve ser

Desenhando as forças em um sistema de eixos xy (Figura 3-C) podemos aplicar a 2.ª Lei de Newton.

Solução:

Usando a 2.ª Lei de Newton

Bloco A:

• Direção x:

a componente paralela do peso é dada por

a força peso é dada por

para o bloco A

substituindo a equação (V) na equação (III)

substituindo a equação (VI) na equação (II)

Aplicando a Equação de Torricelli, calculamos a distância percorrida, L_A, pelo bloco

Bloco B:

• Direção x:

a componente paralela do peso é dada por

para o bloco B, usando a equação (IV) para força peso

substituindo a equação (XI) na equação (X)

substituindo a equação (XII) na equação (IX)

Aplicando a equação (VII) para o bloco B a distância percorrida L_B será

Aplicando a condição dada no problema, de as velocidades dos dois blocos devem ser iguais, temos v_A = v_B = v. O problema diz que os planos são muitos longos, isto significa que os blocos podem descer até que suas velocidades sejam iguais antes de atingir o final do plano.
Dividindo a equação (VIII) por (XIII)