Exercício Resolvido de Dinâmica
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Que força horizontal deve ser constantemente aplicada a M = 21 kg para que m1 = 5 kg não se movimente em relação a m2 = 4 kg? Despreze o atrito e adote g = 10 m/s2.


Dados do problema:
  • Massa do carro M:    M = 21 kg;
  • Massa do carro m1:    m1 = 5 kg;
  • Massa da esfera m2:    m2 = 4 kg;
  • Aceleração da gravidade:    g = 10 m/s2.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência xy, com eixo-x orientado para a direita e eixo-y orientado para cima.
O sistema possui aceleração \( \vec{a} \) na mesma direção da força \( \vec{F} \) aplicada, a aceleração da gravidade \( \vec{g} \) está apontada para baixo, e consideramos a corda que liga as massas m1 e m2 ideal, sem massa e inextensível, e a polia ideal, sem massa e sem atrito (Figura 1).
Figura 1

Solução

Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam em cada um deles, e aplicamos a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
Corpo m1 (Figura 2):

  • \( \vec{T} \): força tensão na corda;
  • \( {\vec P}_{1} \): força peso do bloco m1;
  • \( {\vec N}_{1} \): força normal de reação.
Na direção vertical a força peso \( {\vec P}_{1} \) e a força normal de reação \( {\vec N}_{1} \) se cancelam.

Figura 2

Na direção horizontal aplicando a expressão (I)
\[ T=m_{1}a \]
substituindo a massa do corpo
\[ \begin{gather} T=5a \tag{II} \end{gather} \]
Como a corda que liga os corpos é ideal ela apenas transmite a força de tensão do corpo m1 para o corpo m2.

Corpo m2 (Figura 3-A):

  • \( \vec{T} \): tensão na corda;
  • \( {\vec P}_{2} \): força peso da esfera m2.
Na direção vertical a força peso \( {\vec P}_{2} \) e a componente da força de tensão na direção y \( {\vec T}_{y} \) se equilibram (Figura 3-B)
\[ \begin{gather} T_{y}=P_{2} \tag{III} \end{gather} \]
Figura 3

A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ T_{y}=m_{2}g \]
substituindo a massa da esfera e a aceleração da gravidade
\[ \begin{gather} T_{y}=4.10\\ T_{y}=40\;\text{N} \tag{V} \end{gather} \]
Na direção horizontal aplicando a expressão (I)
\[ T_{x}=m_{2}a \]
substituindo a massa da esfera
\[ \begin{gather} T_{x}=4a \tag{VI} \end{gather} \]
A força de tensão \( \vec{T} \) e suas componentes nas direções x e y, \( {\vec{T}}_{x} \), \( {\vec{T}}_{y} \), formam um triângulo retângulo (Figura 3-C), usando as expressões (II), (V) e (VI) podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar a aceleração do sistema
\[ \begin{gather} \vec{T}={\vec{T}}_{x}+{\vec{T}}_{y}\\ T^{2}=T_{x}^{2}+T_{y}^{2}\\ (5a)^{2}=(4a)^{2}+(40)^{2}\\ 25a^{2}=16a^{2}+1600\\ 25a^{2}-16a^{2}=1600\\ 9a^{2}=1600\\ a^{2}=\frac{1600}{9}\\ a=\sqrt{\frac{1600}{9}}\\ a=\frac{40}{3} \end{gather} \]
Aplicando a expressão (I) para o sistema, a massa será a massa total dada pela soma das massas dos corpos M, m1 e m2 e aceleração encontrada acima
\[ \begin{gather} F=(M+m_{1}+m_{2})a\\ F=(21+5+4).\frac{40}{3}\\ F=30.\frac{40}{3}\\ F=10.40 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {F=400\;\text{N}} \]
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