Exercício Resolvido de Dinâmica
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Que força horizontal deve ser constantemente aplicada a M = 21 kg para que m1 = 5 kg não se movimente em relação a m2 = 4 kg? Despreze o atrito e adote g = 10 m/s2.

Dados do problema:

  • Massa do carro M: M = 21 kg;
  • Massa do carro m1: m1 = 5 kg;
  • Massa da esfera m2: m2 = 4 kg;
  • Aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência xy, com eixo-x orientado para a direita e eixo-y orientado para cima.
O sistema possui aceleração \( \vec a \) na mesma direção da força \( \vec F \) aplicada, a aceleração da gravidade \( \vec g \) está apontada para baixo, e consideramos a corda que liga as massas m1 e m2 ideal, sem massa e inextensível, e a polia ideal, sem massa e sem atrito (Figura 1).
Figura 1

Solução:

Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam em cada um deles, e aplicamos a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \tag{I} \end{gather} \]

Corpo m1 (Figura 2):

  • \( \vec T \): força tensão na corda;
  • \( {\vec P}_1 \): força peso do bloco m1;
  • \( {\vec N}_1 \): força normal de reação.
Na direção vertical a força peso \( {\vec P}_1 \) e a força normal de reação \( {\vec N}_1 \) se cancelam.
Figura 2

Na direção horizontal aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} T=m_1a \end{gather} \]

substituindo a massa do corpo

\[ \begin{gather} T=5a \tag{II} \end{gather} \]

Como a corda que liga os corpos é ideal ela apenas transmite a força de tensão do corpo m1 para o corpo m2.

Corpo m2 (Figura 3-A):

  • \( \vec T \): tensão na corda;
  • \( {\vec P}_2 \): força peso da esfera m2.
Na direção vertical a força peso \( {\vec P}_2 \) e a componente da força de tensão na direção y \( {\vec T}_y \) se equilibram (Figura 3-B)
\[ \begin{gather} T_y=P_2 \tag{III} \end{gather} \]
Figura 3

A força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV) na equação (III)

\[ \begin{gather} T_y=m_2g \end{gather} \]

substituindo a massa da esfera e a aceleração da gravidade

\[ \begin{gather} T_y=4.10 \\[5pt] T_y=40\;\mathrm N \tag{V} \end{gather} \]

Na direção horizontal aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} T_x=m_2a \end{gather} \]

substituindo a massa da esfera

\[ \begin{gather} T_x=4a \tag{VI} \end{gather} \]

A força de tensão \( \vec T \) e suas componentes nas direções x e y, \( {\vec T}_x \), \( {\vec T}_y \), formam um triângulo retângulo (Figura 3-C), usando as equações (II), (V) e (VI) podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar a aceleração do sistema

\[ \begin{gather} \vec T={\vec T}_x+{\vec T}_y \\[5pt] T^2=T_x^2+T_y^2 \\[5pt] (5a)^2=(4a)^2+(40)^2 \\[5pt] 25a^2=16a^2+1600 \\[5pt] 25a^2-16a^2=1600 \\[5pt] 9a^2=1600 \\[5pt] a^2=\frac{1600}{9} \\[5pt] a=\sqrt{\frac{1600}{9}} \\[5pt] a=\frac{40}{3} \end{gather} \]

Aplicando a equação (I) para o sistema, a massa será a massa total dada pela soma das massas dos corpos M, m1 e m2 e aceleração encontrada acima

\[ \begin{gather} F=(M+m_1+m_2)a \\[5pt] F=(21+5+4)\times\frac{40}{3} \\[5pt] F=30.\frac{40}{3} \\[5pt] F=10\times 40 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F=400\;\mathrm N} \end{gather} \]
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