Uma máquina de Atwood é formada por um bloco A, de massa igual a 100 kg, e um bloco B, de
massa igual à 300 kg, com o formato de um cubo de aresta igual à 0,60 m, imerso em um recipiente com
água. Os blocos estão ligados por uma corda inextensível e de massa desprezível que passa por uma polia
sem atrito e de massa desprezível. Determine:
a) A aceleração do sistema;
b) A força de tensão na corda que liga as massas.
Adote a densidade da água igual a 1000 kg/m3 e a aceleração da gravidade igual a
10 m/s2.
Dados do problema:
- Massa do bloco A: mA = 100 kg;
- Massa do bloco B: mB = 300 kg;
- Comprimento da aresta do bloco B: b = 0,60 m;
- Densidade da água: ρ = 1000 kg/m3;
- Aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.
Esquema do problema:
Como a massa do bloco B é maior que a massa do bloco A, vamos adotar um sistema de
referência orientado positivamente no sentido de descida do bloco B, mesmo sentido da aceleração
da gravidade, e com o bloco A subindo.
O sistema é ideal, portanto, a aceleração é a mesma para todo o conjunto. Como a corda é ideal, de massa
desprezível e inextensível, ela apenas transmite a força de tensão entre os blocos (Figura 1).
Solução:
a) Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam em cada um deles, e aplicamos a
2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a} \tag{I}
\end{gather}
\]
Corpo
A:
- \( \vec T \): força de tensão na corda;
- \( {\vec P}_{\small A} \): força peso do bloco A.
Aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
T-P_{\small A}=m_{\small A}a \tag{II}
\end{gather}
\]
A força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (III), para o bloco A, na equação (II)
\[
\begin{gather}
T-m_{\small A}g=m_{\small A}a \tag{IV}
\end{gather}
\]
Corpo
B:
- \( \vec T \): força de tensão na corda;
- \( \vec E \): força de empuxo;
- \( {\vec P}_{\small B} \): força peso do bloco B.
Aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
P_{\small B}-T-E=m_{\small B}a \tag{V}
\end{gather}
\]
A força de empuxo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=\rho gV} \tag{VI}
\end{gather}
\]
o volume de um cubo é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=b^3} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VII) na equação (VI)
\[
\begin{gather}
E=\rho gb^3 \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (III) e (VI), para o bloco B, na equação (V)
\[
\begin{gather}
m_{\small B}g-T-\rho gb^3=m_{\small B}a \tag{IX}
\end{gather}
\]
As equações (IV) e (IX) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas, a e T
\[
\left\{
\begin{array}{l}
T-m_{\small A}g=m_{\small A}a \\
m_{\small B}g-T-\rho gb^3=m_{\small B}a
\end{array}
\right.
\]
substituindo os valores dados no problema e somando as duas equações
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
T-100\times 10=100a \\
300\times 10-T-1000\times 10\times(0,60)^3=300a
\end{array}
\right.
\\[10pt]
\left\{
\begin{array}{l}
T-1000=100a \\
3000-T-10000\times 0,216=300a
\end{array}
\right.
\\[10pt]
\left\{
\begin{array}{l}
T-1000=100a \\
3000-T-10000\times 0,216=300a
\end{array}
\right.
\\[10pt]
\left\{
\begin{array}{l}
T-1000=100a \\
3000-T-2160=300a
\end{array}
\right.
\\[10pt]
\frac{
\begin{aligned}
\cancel T-1000=100a \\
\text{(+)}\qquad 840-\cancel T=300a
\end{aligned}
}
{-160=400a} \\[5pt]
a=-\frac{160}{400}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=-0,4\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
Observação: O sinal de negativo indica que o sistema se move no sentido oposto ao que foi
escolhido, o bloco
A desce e o bloco
B sobe. Isto acontece porque no bloco
B atua a
força de empuxo (
E), que diminui o efeito da força peso do bloco
B.
Este resultado somente é válido enquanto o bloco
B está completamente imerso na água (não confundir
imerso com emerso), movendo-se com aceleração constante.
Como a força de empuxo é proporcional ao volume de líquido deslocado pelo corpo, equação (VI), no
instante em que o corpo começa a sair da água a força de empuxo começa a diminuir (Figura 4), e a
aceleração deixa de ser constante.
b) Substituindo o valor encontrado no item (a) na primeira, ou na segunda equação do sistema, obtemos a
força de tensão na corda
\[
\begin{gather}
T-1000=100\times(-0,4) \\[5pt]
T-1000=-40 \\[5pt]
T=1000-40
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T=960\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
EN
