Exercício Resolvido de Dinâmica
publicidade   



Uma máquina de Atwood é formada por um bloco A, de massa igual a 100 kg, e um bloco B, de massa igual à 300 kg, com o formato de um cubo de aresta igual à 0,60 m, imerso em um recipiente com água. Os blocos estão ligados por uma corda inextensível e de massa desprezível que passa por uma polia sem atrito e de massa desprezível. Determine:
a) A aceleração do sistema;
b) A força de tensão na corda que liga as massas.
Adote a densidade da água igual a 1000 kg/m3 e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2.


Dados do problema:
  • Massa do bloco A:    mA = 100 kg;
  • Massa do bloco B:    mB = 300 kg;
  • Comprimento da aresta do bloco B:    b = 0,60 m;
  • Densidade da água:    ρ = 1000 kg/m3;
  • Aceleração da gravidade:    g = 10 m/s2.
Esquema do problema:

Como a massa do bloco B é maior que a massa do bloco A, vamos adotar um sistema de referência orientado positivamente no sentido de descida do bloco B, mesmo sentido da aceleração da gravidade, e com o bloco A subindo.
O sistema é ideal, portanto, a aceleração é a mesma para todo o conjunto. Como a corda é ideal, de massa desprezível e inextensível, ela apenas transmite a força de tensão entre os blocos (Figura 1).
Figura 1

Solução

a) Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam em cada um deles, e aplicamos a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
Corpo A:
  • \( \vec{T} \): força de tensão na corda;
  • \( {\vec P}_{A} \): força peso do bloco A.
Aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} T-P_{A}=m_{A}a \tag{II} \end{gather} \]

Figura 2

A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III), para o bloco A, na expressão (II)
\[ \begin{gather} T-m_{A}g=m_{A}a \tag{IV} \end{gather} \]
Corpo B:
  • \( \vec{T} \): força de tensão na corda;
  • \( \vec{E} \): força de empuxo;
  • \( {\vec P}_{B} \): força peso do bloco B.
Aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} P_{B}-T-E=m_{B}a \tag{V} \end{gather} \]

Figura 3

A força de empuxo é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=\rho gV} \tag{VI} \end{gather} \]
o volume de um cubo é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=b^{3}} \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI)
\[ \begin{gather} E=\rho gb^{3} \tag{VIII} \end{gather} \]
Substituindo as expressões (III) e (VI), para o bloco B, na expressão (V)
\[ \begin{gather} m_{B}g-T-\rho gb^{3}=m_{B}a \tag{IX} \end{gather} \]
As expressões (IV) e (IX) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas, a e T
\[ \left\{ \begin{array}{l} T-m_{A}g=m_{A}a\\ m_{B}g-T-\rho gb^{3}=m_{B}a \end{array} \right. \]
substituindo os valores dados no problema e somando as duas equações
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} T-100.10=100a\\ 300.10-T-1000.10.(0,60)^{3}=300a \end{array} \right. \\[10pt] \left\{ \begin{array}{l} T-1000=100a\\ 3000-T-10000.0,216=300a \end{array} \right. \\[10pt] \left\{ \begin{array}{l} T-1000=100a\\ 3000-T-10000.0,216=300a \end{array} \right. \\[10pt] \left\{ \begin{array}{l} T-1000=100a\\ 3000-T-2160=300a \end{array} \right. \\[10pt] \frac{ \begin{aligned} \cancel{T}-1000=100a\\ \text{(+)}\qquad 840-\cancel{T}=300a \end{aligned} } {-160=400a}\\ a=-\frac{160}{400} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a=-0,4\;\text{m/s}^{2}} \]

Observação: O sinal de negativo indica que o sistema se move no sentido oposto ao que foi escolhido, o bloco A desce e o bloco B sobe. Isto acontece porque no bloco B atua a força de empuxo (E), que diminui o efeito da força peso do bloco B.
Este resultado somente é válido enquanto o bloco B está completamente imerso na água (não confundir imerso com emerso), movendo-se com aceleração constante.
Como a força de empuxo é proporcional ao volume de líquido deslocado pelo corpo, expressão (VI), no instante em que o corpo começa a sair da água a força de empuxo começa a diminuir (Figura 4), e a aceleração deixa de ser constante.

Figura 4


b) Substituindo o valor encontrado no item (a) na primeira, ou na segunda equação do sistema, obtemos a força de tensão na corda
\[ \begin{gather} T-1000=100.(-0,4)\\ T-1000=-40\\ T=1000-40 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {T=960\;\text{N}} \]
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .