Exercício Resolvido de Dinâmica

Um automóvel de massa m passa por uma lombada, representada por um arco de circunferência de raio R, com velocidade constante, adotando g para a aceleração local da gravidade determinar:
a) A reação da estrada sobre o automóvel no ponto mais alto da lombada;
b) A velocidade máxima que o automóvel pode ter no ponto mais alto da lombada sem que as rodas percam contato com a estrada.

Dados do problema:

Massa do automóvel: m;
Raio da lombada: R;
Aceleração local da gravidade: g.

Solução:

a) Adotamos um sistema de referência com sentido para cima, contra a orientação da aceleração da gravidade.
Isolamos o corpo e pesquisamos as forças que atua no automóvel, e aplicamos a 2.ª Lei de Newton para um corpo em movimento circular

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{cp}=m{\vec a}_{cp}} \tag{I} \end{gather} \]

Para o automóvel:

\( \vec P \): força peso;
\( \vec N \): força normal de reação da estrada sobre o automóvel.

aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} N-P=ma_{cp} \tag{II} \end{gather} \]

a força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{III} \end{gather} \]

Figura 1

a aceleração centrípeta é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^2}{r}} \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo as equações (III) e (IV) na equação (II)

\[ \begin{gather} N-mg=m\frac{v^2}{R} \\[5pt] N=mg-m\frac{v^2}{R} \end{gather} \]

colocando o termo mg em evidência do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {N=mg\left(1-\frac{v^2}{Rg}\right)} \end{gather} \]

b) No instante em que o carro perde contato com a lombada a reação normal torna-se nula, fazendo a condição N = 0 na solução do item anterior

\[ \begin{gather} mg\left(1-\frac{v_{max}^2}{Rg}\right)=0 \\[5pt] mg-m\frac{v_{max}^2}{R}=0 \\[5pt] \cancel{m}g=\cancel{m}\frac{v_{max}^2}{R} \\[5pt] g=\frac{v_{max}^2}{R} \\[5pt] v_{max}^2=Rg \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{max}=\sqrt{Rg\;}} \end{gather} \]