Exercício Resolvido de Dinâmica
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Uma carreta de massa M move-se sem atrito em trilhos horizontais com velocidade v0. Na parte dianteira da carreta coloca-se um corpo de massa m com velocidade inicial zero em relação à carreta. Para que comprimento da carreta o corpo não cairá da mesma? As dimensões do corpo em relação ao comprimento da carreta podem ser desprezadas. O coeficiente de atrito entre o corpo e a carreta é μ.


Dados do problema:
  • Velocidade da carreta:    v0;
  • Massa da carreta:    M;
  • Velocidade inicial do corpo:    v0B = 0;
  • Massa do corpo:    m;
  • Coeficiente de atrito entre o corpo e a carreta:    μ.
Esquema do problema:

Adota-se um sistema de referência no solo com origem na parte traseira da carreta e orientado para a direita (Figura 1). Sendo L o comprimento da carreta a parte dianteira está a uma distância S = L da origem. Vamos adotar que o bloco de massa m foi colocado na parte dianteira da carreta de forma bastante suave, de modo que não ocorram perturbações verticais no sistema além da força peso do corpo e da reação normal da carreta sobre o bloco. Adotamos a aceleração da gravidade é igual a g.
Figura 1

Solução

Pela 1.ª Lei de Newton “Todo corpo tende a permanecer em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, a menos que uma força altere seu estado”, então o bloco tende a permanecer no ponto L onde foi colocado, mas como a carreta se desloca para a direita, e existe atrito entre o bloco e a carreta, ela atua no bloco com uma força de atrito para a direita (Figura 2-A). Essa força de atrito altera o estado de repouso do corpo e começa a arrastar o bloco para a direita com aceleração aB.
Pela 3.ª Lei de Newton “A toda ação sempre se opõe uma reação igual ou a ação mútua de dois corpos um sobre o outro é sempre igual, e dirigida em sentidos opostos”, assim à ação da força de atrito da carreta no bloco opõe-se a reação da força de atrito do bloco na carreta, de mesma intensidade, e dirigida para a esquerda (Figura 2-B) o que vai produzir na carreta uma desaceleração aC.
Figura 2
Isolando os corpos e analisando as forças que atuam neles podemos aplicar a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
Bloco:
  • \( {\vec P}_{B} \): força peso do bloco;
  • \( {\vec N}_{B} \): força normal de reação da superfície;
  • \( {\vec F}_{at} \): força de atrito.

Figura 3

Na direção vertical não há movimento, a força peso \( {\vec P}_{B} \) e a força normal de reação \( {\vec N}_{B} \) se anulam.
\[ \begin{gather} N_{B}=P_{B} \tag{II} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \]
aplicando esta expressão ao bloco B
\[ \begin{gather} P_{B}=mg \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[ \begin{gather} N_{B}=mg \tag{IV} \end{gather} \]
Na direção horizontal aplicando a expressão (I) temos a força de atrito como a resultante
\[ \begin{gather} F_{at}=ma_{B} \tag{V} \end{gather} \]
como a força de atrito é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {F_{at}=\mu N} \]
para bloco a força de atrito será
\[ \begin{gather} F_{at}=\mu N_{B} \tag{VI} \end{gather} \]
igualando as expressões (V) e (VI)
\[ \begin{gather} \mu N_{B}=ma_{B} \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (VII)
\[ \begin{gather} \mu \cancel{m}g=\cancel{m}a_{B}\\ a_{B}=\mu g \tag{VIII} \end{gather} \]
Carreta:
  • \( {\vec P}_{C} \): força peso da carreta;
  • \( {\vec N}_{1} \) e \( {\vec N}_{2} \): forças normais de reação da superfície;
  • \( -{\vec F}_{at} \): força de atrito, \( \left|\;{\vec{F}}_{at}\;\right|=\left|\;-{\vec{F}}_{at}\;\right| \).
Na direção vertical não há movimento, a força peso \( {\vec P}_{C} \) e as forças normais de reação \( {\vec N}_{1} \) e \( {\vec N}_{2} \) se anulam.
Figura 4

Observação: Não é preciso escrever a equação da 2.ª Lei de Newton para a direção vertical, pois, a força de atrito que aparece na carreta \( -{\vec{F}}_{at} \) tem o mesmo módulo da força de atrito do bloco, e esta força depende da reação normal do bloco \( {\vec{N}}_{B} \) e não das reações normais nas rodas da carreta \( {\vec{N}}_{1} \) e \( {\vec{N}}_{2} \). Se existisse atrito entre as rodas e os trilhos então esta força de atrito dependeria das reações normais nas rodas e da massa da carreta \( P_{C}=Mg \).

Na direção horizontal aplicando a expressão (I) temos a força de atrito como a resultante
\[ \begin{gather} -F_{at}=Ma_{C} \tag{IX} \end{gather} \]
com a força de atrito dada pela expressão (VI)
\[ \begin{gather} -\mu N_{B}=Ma_{C} \tag{X} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (X)
\[ \begin{gather} -\mu mg=Ma_{C}\\ a_{C}=\frac{-{\mu mg}}{M} \tag{XI} \end{gather} \]
O bloco sob a ação da força de atrito com a carreta começa a acelerar a partir do repouso até uma velocidade final. A carreta sob a ação da força de atrito com o bloco começa a desacelerar até uma velocidade final. A Equação de Torricelli é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta S} \]
escrevendo esta expressão para os dois corpos
\[ \begin{gather} v_{B}^{2}=v_{0B}^{2}+2a_{B}\Delta S_{B}\\ v_{B}^{2}=0+2\mu gL\\ v_{B}^{2}=2\mu gL \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_{C}^{2}=v_{0C}^{2}+2a_{C}\Delta S_{C}\\ v_{C}^{2}=v_{0}^{2}-2\frac{\mu mg}{M}L \end{gather} \]
Observação: Por que o deslocamento do bloco ΔSB é igual ao deslocamento da carreta ΔSC e igual ao comprimento da carreta (L)?
“Esquecendo” o sistema de referência no solo, vamos considerar um ponto p na traseira da carreta e um ponto q na dianteira, e adotemos um outro sistema de referência no ponto p fixo na carreta (Figura 5). Para um observador em p olhando para a dianteira ele vê o bloco começando a se deslocar em sua direção com velocidade inicial −v0, o módulo da velocidade vai diminuindo até se anular quando o bloco atinge o ponto p, v0>v1>v2>...>vf=0, de modo que o bloco não caia da carreta. Assim o bloco vai se deslocar todo o comprimento da carreta \( \Delta S_{B}=L \).
Atenção: pela Figura 5 parece que o bloco se desloca para trás, na verdade o bloco se desloca para frente sob a ação da força de atrito. Visto do referencial em p a carreta está fixa para o observador e o bloco e os trilhos se deslocam para trás, da mesma forma quando estamos sentados num carro as árvores e as marcas da estrada ficam para trás.
Figura 5

Adotando agora um sistema de referência fixo no bloco no ponto q (Figura 6). Para um observador no bloco olhando para a traseira ele vê o ponto p começando a se deslocar em sua direção com velocidade inicial v0, o módulo da velocidade vai diminuindo até se anular quando o ponto p atinge a posição do bloco v0>v1>v2>...>vf=0, de modo que o bloco não caia da carreta. Assim o ponto p vai se deslocar de uma distância igual ao comprimento da carreta \( \Delta S_{C}=L \).
Figura 6

Para que o bloco não caia da carreta devemos ter a condição de que quando o bloco chega na parte traseira da carreta as velocidades finais do bloco e da carreta sejam iguais.
\[ \begin{gather} v_{B}^{2}=v_{C}^{2}\\ 2\mu gL=v_{0}^{2}-2\frac{\mu mg}{M}L\\ 2\mu gL+2\frac{\mu mg}{M}L=v_{0}^{2} \end{gather} \]
colocando o fator 2μgL em evidência do lado esquerdo da igualdade
\[ 2\mu gL\left(1+\frac{m}{M}\right)=v_{0}^{2} \]
na expressão entre parênteses o fator comum entre 1 e M é M
\[ \begin{gather} 2\mu gL\left(\frac{M+m}{M}\right)=v_{0}^{2}\\ L\left(\frac{M+m}{M}\right)=\frac{v_{0}^{2}}{2\mu g}\\ L=\frac{v_{0}^{2}}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right) \end{gather} \]
este é o comprimento mínimo para que o bloco não caia da carreta, para qualquer valor maior que este o bloco obviamente não cai
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {L\geqslant \frac{v_{0}^{2}}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)} \]
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