Exercício Resolvido de Dinâmica

Uma carreta de massa M move-se sem atrito em trilhos horizontais com velocidade v₀. Na parte dianteira da carreta coloca-se um corpo de massa m com velocidade inicial zero em relação à carreta. Para que comprimento da carreta o corpo não cairá da mesma? As dimensões do corpo em relação ao comprimento da carreta podem ser desprezadas. O coeficiente de atrito entre o corpo e a carreta é μ.

Dados do problema:

Velocidade da carreta: v₀;
Massa da carreta: M;
Velocidade inicial do corpo: v_0b = 0;
Massa do corpo: m;
Coeficiente de atrito entre o corpo e a carreta: μ.

Esquema do problema:

Adota-se um sistema de referência no solo com origem na parte traseira da carreta e orientado para a direita (Figura 1). Sendo L o comprimento da carreta a parte dianteira está a uma distância S = L da origem. Vamos adotar que o bloco de massa m foi colocado na parte dianteira da carreta de forma bastante suave, de modo que não ocorram perturbações verticais no sistema além da força peso do corpo e da reação normal da carreta sobre o bloco. Adotamos a aceleração da gravidade é igual a g.

Figura 1

Solução:

Pela 1.ª Lei de Newton “Todo corpo tende a permanecer em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, a menos que uma força altere seu estado”, então o bloco tende a permanecer no ponto L onde foi colocado, mas como a carreta se desloca para a direita, e existe atrito entre o bloco e a carreta, ela atua no bloco com uma força de atrito para a direita (Figura 2-A). Essa força de atrito altera o estado de repouso do corpo e começa a arrastar o bloco para a direita com aceleração a_b.
Pela 3.ª Lei de Newton “A toda ação sempre se opõe uma reação igual ou a ação mútua de dois corpos um sobre o outro é sempre igual, e dirigida em sentidos opostos”, assim à ação da força de atrito da carreta no bloco opõe-se a reação da força de atrito do bloco na carreta, de mesma intensidade, e dirigida para a esquerda (Figura 2-B) o que vai produzir na carreta uma desaceleração a_c.

Figura 2

Isolando os corpos e analisando as forças que atuam neles podemos aplicar a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \tag{I} \end{gather} \]

Bloco:

\( {\vec P}_b \): força peso do bloco;
\( {\vec N}_b \): força normal de reação da superfície;
\( {\vec F}_{at} \): força de atrito.

Figura 3

Na direção vertical não há movimento, a força peso \( {\vec P}_b \) e a força normal de reação \( {\vec N}_b \) se anulam.

\[ \begin{gather} N_b=P_b \tag{II} \end{gather} \]

A força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]

aplicando esta expressão ao bloco B

\[ \begin{gather} P_b=mg \tag{III} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na equação (II)

\[ \begin{gather} N_b=mg \tag{IV} \end{gather} \]

Na direção horizontal aplicando a equação (I) temos a força de atrito como a resultante

\[ \begin{gather} F_{at}=ma_b \tag{V} \end{gather} \]

como a força de atrito é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{at}=\mu N} \end{gather} \]

para bloco a força de atrito será

\[ \begin{gather} F_{at}=\mu N_b \tag{VI} \end{gather} \]

igualando as equações (V) e (VI)

\[ \begin{gather} \mu N_b=ma_b \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV) na equação (VII)

\[ \begin{gather} \mu \cancel mg=\cancel ma_b \\[5pt] a_b=\mu g \tag{VIII} \end{gather} \]

Carreta:

\( {\vec P}_c \): força peso da carreta;
\( {\vec N}_1 \) e \( {\vec N}_2 \): forças normais de reação da superfície;
\( -{\vec F}_{at} \): força de atrito, \( \left|\;{\vec F}_{at}\;\right|=\left|\;-{\vec F}_{at}\;\right| \).

Na direção vertical não há movimento, a força peso \( {\vec P}_c \) e as forças normais de reação \( {\vec N}_1 \) e \( {\vec N}_2 \) se anulam.

Figura 4

Observação: Não é preciso escrever a equação da 2.ª Lei de Newton para a direção vertical, pois, a força de atrito que aparece na carreta \( -{\vec F}_{at} \) tem o mesmo módulo da força de atrito do bloco, e esta força depende da reação normal do bloco \( {\vec N}_b \) e não das reações normais nas rodas da carreta \( {\vec N}_1 \) e \( {\vec N}_2 \). Se existisse atrito entre as rodas e os trilhos então esta força de atrito dependeria das reações normais nas rodas e da massa da carreta \( P_c=Mg \).

Na direção horizontal aplicando a equação (I) temos a força de atrito como a resultante

\[ \begin{gather} -F_{at}=Ma_c \tag{IX} \end{gather} \]

com a força de atrito dada pela equação (VI)

\[ \begin{gather} -\mu N_b=Ma_c \tag{X} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na equação (X)

\[ \begin{gather} -\mu mg=Ma_c \\[5pt] a_c=\frac{-{\mu mg}}{M} \tag{XI} \end{gather} \]

O bloco sob a ação da força de atrito com a carreta começa a acelerar a partir do repouso até uma velocidade final. A carreta sob a ação da força de atrito com o bloco começa a desacelerar até uma velocidade final. A Equação de Torricelli é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]

escrevendo esta equação para os dois corpos

\[ \begin{gather} v_b^2=v_{0b}^2+2a_b\Delta S_b \\[5pt] v_b^2=0+2\mu gL \\[5pt] v_b^2=2\mu gL \end{gather} \]

\[ \begin{gather} v_c^2=v_{0c}^2+2a_c\Delta S_c \\[5pt] v_c^2=v_0^2-2\frac{\mu mg}{M}L \end{gather} \]

Observação: Por que o deslocamento do bloco ΔS_B é igual ao deslocamento da carreta ΔS_C e igual ao comprimento da carreta (L)?
“Esquecendo” o sistema de referência no solo, vamos considerar um ponto p na traseira da carreta e um ponto q na dianteira, e adotemos um outro sistema de referência no ponto p fixo na carreta (Figura 5). Para um observador em p olhando para a dianteira ele vê o bloco começando a se deslocar em sua direção com velocidade inicial −v₀, o módulo da velocidade vai diminuindo até se anular quando o bloco atinge o ponto p, v₀>v₁>v₂>...>v_f=0, de modo que o bloco não caia da carreta. Assim o bloco vai se deslocar todo o comprimento da carreta \( \Delta S_b=L \).
Atenção: pela Figura 5 parece que o bloco se desloca para trás, na verdade o bloco se desloca para frente sob a ação da força de atrito. Visto do referencial em p a carreta está fixa para o observador e o bloco e os trilhos se deslocam para trás, da mesma forma quando estamos sentados num carro as árvores e as marcas da estrada ficam para trás.

Figura 5

Adotando agora um sistema de referência fixo no bloco no ponto q (Figura 6). Para um observador no bloco olhando para a traseira ele vê o ponto p começando a se deslocar em sua direção com velocidade inicial v₀, o módulo da velocidade vai diminuindo até se anular quando o ponto p atinge a posição do bloco v₀>v₁>v₂>...>v_f=0, de modo que o bloco não caia da carreta. Assim o ponto p vai se deslocar de uma distância igual ao comprimento da carreta \( \Delta S_c=L \).

Figura 6

Para que o bloco não caia da carreta devemos ter a condição de que quando o bloco chega na parte traseira da carreta as velocidades finais do bloco e da carreta sejam iguais.

\[ \begin{gather} v_b^2=v_c^2 \\[5pt] 2\mu gL=v_0^2-2\frac{\mu mg}{M}L \\[5pt] 2\mu gL+2\frac{\mu mg}{M}L=v_0^2 \end{gather} \]

colocando o fator 2μgL em evidência do lado esquerdo da igualdade

\[ \begin{gather} 2\mu gL\left(1+\frac{m}{M}\right)=v_0^2 \end{gather} \]

na expressão entre parênteses o fator comum entre 1 e M é M

\[ \begin{gather} 2\mu gL\left(\frac{M+m}{M}\right)=v_0^2 \\[5pt] L\left(\frac{M+m}{M}\right)=\frac{v_0^2}{2\mu g} \\[5pt] L=\frac{v_0^2}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right) \end{gather} \]

este é o comprimento mínimo para que o bloco não caia da carreta, para qualquer valor maior que este o bloco obviamente não cai

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {L\geqslant \frac{v_0^2}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)} \end{gather} \]