Uma carreta de massa M move-se sem atrito em trilhos horizontais com velocidade
v0. Na parte dianteira da carreta coloca-se um corpo de massa m com velocidade
inicial zero em relação a carreta. Para que comprimento da carreta o corpo não cairá da mesma? As dimensões
do corpo em relação ao comprimento da carreta podem ser desprezadas. O coeficiente de atrito entre o corpo
e a carreta é μ.
Dados do problema:
- Velocidade da carreta: v0;
- Massa da carreta: M;
- Velocidade inicial do corpo: v0b = 0;
- Massa do corpo: m;
- Coeficiente de atrito entre o corpo e a carreta: μ.
Esquema do problema:
Adota-se um sistema de referência no solo com origem na parte traseira da carreta e orientado para a
direita (Figura 1). Sendo L o comprimento da carreta a parte dianteira está a uma distância
S = L da origem. Vamos adotar que o bloco de massa m foi colocado na parte
dianteira da carreta de forma bastante suave, de modo que não ocorram perturbações verticais no sistema
além da força peso do corpo e da reação normal da carreta sobre o bloco. Adotamos a aceleração da
gravidade é igual a g.
Solução:
Pela 1.ª Lei de Newton “Todo corpo tende a permanecer em repouso ou em movimento
retilíneo uniforme, a menos que uma força altere seu estado”, então o bloco tende a permanecer no
ponto L onde foi colocado, mas como a carreta se desloca para a direita, e existe atrito entre o
bloco e a carreta, ela atua no bloco com uma força de atrito para a direita (Figura 2-A). Essa força de
atrito altera o estado de repouso do corpo e começa a arrastar o bloco para a direita com aceleração
ab.
Pela 3.ª Lei de Newton “A toda ação sempre se opõe uma reação igual ou a ação mútua de
dois corpos um sobre o outro é sempre igual, e dirigida em sentidos opostos”, assim à ação da força
de atrito da carreta no bloco opõe-se a reação da força de atrito do bloco na carreta, de mesma
intensidade, e dirigida para a esquerda (Figura 2-B) o que vai produzir na carreta uma desaceleração
ac.
Isolando os corpos e analisando as forças que atuam neles podemos aplicar a 2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a} \tag{I}
\end{gather}
\]
Bloco:
- \( {\vec P}_b \): força peso do bloco;
- \( {\vec N}_b \): força normal de reação da superfície;
- \( {\vec F}_{at} \): força de atrito.
Na direção vertical não há movimento, a força peso
\( {\vec P}_b \)
e a força normal de reação
\( {\vec N}_b \)
se anulam
\[
\begin{gather}
N_b=P_b \tag{II}
\end{gather}
\]
A força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
aplicando esta expressão ao bloco B
\[
\begin{gather}
P_b=mg \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (III) na equação (II)
\[
\begin{gather}
N_b=mg \tag{IV}
\end{gather}
\]
Na direção horizontal aplicando a equação (I) temos a força de atrito como a resultante
\[
\begin{gather}
F_{at}=ma_b \tag{V}
\end{gather}
\]
a força de atrito é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{at}=\mu N}
\end{gather}
\]
para bloco a força de atrito será
\[
\begin{gather}
F_{at}=\mu N_b \tag{VI}
\end{gather}
\]
igualando as equações (V) e (VI)
\[
\begin{gather}
\mu N_b=ma_b \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na expessão (VII)
\[
\begin{gather}
\mu\cancel mg=\cancel ma_b \\[5pt]
a_b=\mu g \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Carreta:
- \( {\vec P}_c \): força peso da carreta;
- \( {\vec N}_1 \) e \( {\vec N}_2 \): forças normais de reação da superfície;
- \( -{\vec F}_{at} \): força de atrito, \( \left|\;{\vec F}_{at}\;\right|=\left|\;-{\vec F}_{at}\;\right| \).
Na direção vertical não há movimento, a força peso
\( {\vec P}_c \)
e as forças normais de reação
\( {\vec N}_1 \) e
\( {\vec N}_2 \)
se anulam.
Observação: Não é preciso escrever a equação da 2.ª Lei de Newton para a direção
vertical, pois, a força de atrito que aparece na carreta
\( -{\vec F}_{at} \)
tem o mesmo módulo da força de atrito do bloco, e esta força depende da reação normal do bloco
\( {\vec N}_b \)
e não das reações normais nas rodas da carreta,
\( {\vec N}_1 \) e \( {\vec N}_2 \).
Se existisse atrito entre as rodas e os trilhos então esta força de atrito dependeria das reações normais
nas rodas e da massa da carreta
\( P_c=Mg \).
Na direção horizontal aplicando a equação (I) temos a força de atrito como a resultante
\[
\begin{gather}
-F_{at}=Ma_c \tag{IX}
\end{gather}
\]
a força de atrito dada pela equação (VI)
\[
\begin{gather}
-\mu N_b=Ma_c \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (III) na equação (X)
\[
\begin{gather}
-\mu mg=Ma_c \\[5pt]
a_c=\frac{-{\mu mg}}{M} \tag{XI}
\end{gather}
\]
como o bloco está sob a ação de uma aceleração ele está em
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), a função da velocidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=v_0+at}
\end{gather}
\]
para o bloco será
\[
\begin{gather}
v_b=v_{0b}+a_bt \\[5pt]
v_b=0+\mu gt \\[5pt]
v_b=\mu gt \tag{XII}
\end{gather}
\]
a função da velocidade para carreta será
\[
\begin{gather}
v_c=v_{0c}+a_ct \\[5pt]
v_c=v_0-\frac{\mu mg}{M}t \tag{XIII}
\end{gather}
\]
A carreta vai diminuir de velocidade e o bloco aumentar a velocidade até que os dois se movimentem com a
mesma velocidade, então num dado instante temos a condição
\[
\begin{gather}
v_b=v_c \\[5pt]
\mu gt=v_0-\frac{\mu mg}{M}t \\[5pt]
\mu gt+\frac{\mu mg}{M}t=v_0 \\[5pt]
\mu gt\left(1+\frac{m}{M}\right)=v_0
\end{gather}
\]
no termo entre parênteses o termo comum entre M e 1 é M
\[
\begin{gather}
\mu gt\left(\frac{M+m}{M}\right)=v_0 \\[5pt]
t=\frac{v_0}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right) \tag{XIV}
\end{gather}
\]
A função horária do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2}
\end{gather}
\]
para o bloco
\[
\begin{gather}
S_b=S_{0b}+v_{0b}t+\frac{a_b}{2}t^2
\end{gather}
\]
pela Figura 1 vemos a posição inicial do bloco está na dianteira da carreta
\( S_{0b}=L \)
e usando a velocidade inicial do bloco dada no problema e a aceleração calculada em (VI)
\[
\begin{gather}
S_b=L+0.t+\frac{\mu g}{2}t^2 \\[5pt]
S_b=L+\frac{\mu g}{2}t^2 \tag{XV}
\end{gather}
\]
substituindo o valor do tempo obtido em (XIV) na equação (XV)
\[
\begin{gather}
S_b=L+\frac{\mu g}{2}\left[\frac{v_0}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\right]^2 \\[5pt]
S_b=L+\frac{\mu g}{2}\frac{v_0^2}{\mu^2g^2}\left(\frac{M}{M+m}\right)^2 \\[5pt]
S_b=L+\frac{v_0^2}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)^2 \tag{XVI}
\end{gather}
\]
A função horária para a carreta é dada por
\[
\begin{gather}
S_c=S_{0c}+v_{0c}t+\frac{a_c}{2}t^2
\end{gather}
\]
pela Figura 1 vemos a posição inicial da carreta está na origem do sistema de referência,
S0C=0, e usando a velocidade inicial da carreta dada no problema e a aceleração
calculada em (IX)
\[
\begin{gather}
S_c=0+v_0t-\frac{1}{2}\frac{\mu mg}{M}t^2 \\[5pt]
S_c=v_0t-\frac{1}{2}\frac{\mu mg}{M}t^2 \tag{XVII}
\end{gather}
\]
substituindo o valor do tempo obtido em (XIV) na equação (XVII)
\[
\begin{gather}
S_c=v_0\frac{v_0}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)-\frac{1}{2}\frac{\mu mg}{M}\left[\frac{v_0}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\right]^2 \\[5pt]
S_c=\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)-\frac{1}{2}\frac{\mu mg}{M}\frac{v_0^2}{\mu^2g^2}\left(\frac{M}{M+m}\right)^2 \\[5pt]
S_c=\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)-\frac{1}{2}\frac{m}{M}\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)^2 \tag{XVIII}
\end{gather}
\]
Para que o bloco não caia da carreta devemos ter a seguinte condição
\[
\begin{gather}
S_b-S_c\geqslant 0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
L+\frac{v_0^2}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)^2-\left[\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)-\frac{1}{2}\frac{m}{M}\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)^2\right]\geqslant 0 \\[5pt]
L+\frac{v_0^2}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)^2-\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)+\frac{m}{M}\frac{v_0^2}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)^2\geqslant 0
\end{gather}
\]
colocando o termo
\( \frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right) \)
em evidência do lado esquerdo da desigualdade
\[
\begin{gather}
L+\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{1}{2}\left(\frac{M}{M+m}\right)-1+\frac{m}{M}\frac{1}{2}\left(\frac{M}{M+m}\right)\right]\geqslant 0 \\[5pt]
L+\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{1}{2}\left(\frac{M}{M+m}\right)-1+\frac{1}{2}\left(\frac{m}{M+m}\right)\right]\geqslant 0 \\[5pt]
L+\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{M}{2(M+m)}+\frac{m}{2(M+m)}-1\right]\geqslant 0 \\[5pt]
L+\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{\cancel{M+m}}{2\cancel{(M+m)}}-1\right]\geqslant 0 \\[5pt]
L+\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{1}{2}-1\right]\geqslant 0
\end{gather}
\]
na expressão entre colchetes multiplicamos e dividimos o segundo termo por2
\[
\begin{gather}
L+\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{1}{2}-1.\frac{2}{2}\right]\geqslant 0 \\[5pt]
L+\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{1-2}{2}\right]\geqslant 0 \\[5pt]
L+\frac{v_0^2}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[-{\frac{1}{2}}\right]\geqslant 0 \\[5pt]
L-\frac{v_0^2}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\geqslant 0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{L\geqslant \frac{v_0^2}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)}
\end{gather}
\]
Observação: Como foi visto no problema a carreta possui velocidade inicial
v0 e o bloco é colocado sobre a carreta como velocidade nula (Figura 5-A). Sob a ação
da força de atrito a carreta desacelera e o bloco acelera até que ambos atinjam a mesma velocidade. Neste
instante o bloco possui a mesma velocidade da carreta em relação ao solo, e velocidade nula em relação a
própria carreta (o bloco para de escorregar). O bloco parece escorregar para trás da carreta, mas na
verdade a força de atrito faz o bloco avançar em relação ao solo, a carreta, no entanto, avança mais
rápido.
Pela Figura 5-B, no instante em que as velocidades dos corpos se igualam a carreta está num ponto da
trajetória
Sc e o bloco em
Sb, se a diferença das posições for
positiva
Sb−
Sc>0, isto significa que o bloco parou de
escorregar num ponto qualquer sobre a carreta.
Pela Figura 5-C, se a diferença das posições for nula
Sb−
Sc=0
isto significa que o bloco parou de escorregar na extremidade traseira da carreta, onde foi tomada a
referência para a carreta.
Pela Figura 5-D, se a diferença das posições for negativa
Sb−
Sc<0, isto significa que o bloco continuou a escorregar
e caiu da carreta (a carreta não era longa o suficiente para que as velocidades se igualassem).
Atenção: A Figura 5-D é apenas um esquema do que acontece com o bloco, as equações usadas
descrevem apenas movimentos retilíneos, e não o movimento do bloco caindo da carreta.
EN
