Exercício Resolvido de Dinâmica
publicidade   



Um carrinho de massa M está unido por uma corda a uma carga de massa m. No momento inicial o carrinho tem velocidade v0 e se move para a esquerda em um plano horizontal. Determinar:
a) O intervalo de tempo decorrido até o carrinho parar;
b) O espaço percorrido até o carrinho parar.
Considere a corda inextensível e de massa desprezível, não existe atrito no plano horizontal e na polia e adote a aceleração da gravidade igual a g.


Dados do problema:
  • Massa do carrinho:    M;
  • Velocidade inicial do carrinho:    v0;
  • Massa da carga:    m;
  • Aceleração da gravidade:    g.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado para a direita e com origem no ponto onde está o carrinho inicialmente. Escolhemos a aceleração no sentido em que a carga está descendo.
Figura 1

Solução

Isolando os corpos e pesquisando as forças que agem em cada um deles aplicamos a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
Carrinho:

Direção vertical:

  • \( {\vec P}_{M} \): força peso do carrinho;
  • \( {\vec N}_{M} \): força normal de reação da superfície devido ao contato das rodas.
Direção horizontal:
  • \( \vec{T} \): força de tensão na corda.
Na direção vertical não há movimento, a força peso \( {\vec P}_{M} \) e a força normal de reação \( {\vec N}_{M} \) se anulam.

Figura 2

Na direção horizontal aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} T=Ma \tag{II} \end{gather} \]
Carga:
  • \( {\vec P}_{m} \): força peso da carga;
  • \( \vec{T} \): força de tensão na corda.
Na direção horizontal não há forças atuando. Na direção vertical aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} P_{m}-T=ma \tag{III} \end{gather} \]

Figura 3

a) As equações (II) e (III) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas, T e a
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} T=Ma\\ P_{m}-T=ma \end{array} \right. \end{gather} \]
somando as duas equações
\[ \begin{gather} \frac{ \begin{aligned} \cancel{T}=Ma\\ P_{m}-\cancel{T}=ma \end{aligned} } {P_{m}=\left(M+m\right)a}\\ a=\frac{P_{m}}{M+m} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \]
para o peso da carga
\[ P_{m}=mg \]
substituindo este valor na expressão acima para a aceleração
\[ \begin{gather} a=\frac{mg}{M+m} \tag{IV} \end{gather} \]
Da situação inicial entende-se que o carrinho foi lançado por alguma força para a esquerda. Em um dado momento esta força parou de atuar, e quando se iniciou a contagem do tempo a velocidade tinha módulo v0. No instante em que a força de lançamento para de atuar apenas a força de tração na corda, devido a carga, atua no carrinho conferindo a este uma aceleração contrária ao movimento (desaceleração), assim, o carrinho está em movimento retardado retrógrado.
O carrinho move-se inicialmente contra a orientação da trajetória, portanto, sua velocidade é negativa −v0, no instante em que ele parar sua velocidade final será nula (v=0).
A função horária da velocidade para o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_{0}+at} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) e os valores das velocidades inical e final na expressão (V)
\[ \begin{gather} 0=-v_{0}+\frac{mg}{M+m}t\\ \frac{mg}{M+m}t=v_{0} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {t=v_{0}\frac{(M+m)}{mg}} \]

b) Usando a função horária da posição do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_{0}+v_{0}t+\frac{a}{2}t^{2}} \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a posição inicial, a aceleração encontrada em (IV) e o resultado do item anterior para o intervalo de tempo em (VI)
\[ \begin{gather} S=0-v_{0}\left[v_{0}\frac{(M+m)}{mg}\right]+\frac{1}{2}\frac{mg}{(M+m)}\left[v_{0}\frac{(M+m)}{mg}\right]^{2}\\[10pt] S=-v_{0}^{2}\frac{(M+m)}{mg}+\frac{1}{2}\frac{mg}{(M+m)}v_{0}^{2}\frac{(M+m)^{2}}{m^{2}g^{2}}\\[10pt] S=-v_{0}^{2}\frac{(M+m)}{mg}+\frac{1}{2}v_{0}^{2}\frac{(M+m)}{mg} \end{gather} \]
colocando o termo \( v_{0}^{2}\frac{(M+m)}{mg} \) em evidência do lado direito da igualdade
\[ S=v_{0}^{2}\frac{(M+m)}{mg}\left(-1+\frac{1}{2}\right) \]
multiplicando e dividindo por 2 o fator −1 entre parênteses
\[ \begin{gather} S=v_{0}^{2}\frac{(M+m)}{mg}\left(\frac{2}{2}.(-1)+\frac{1}{2}\right)\\ S=v_{0}^{2}\frac{(M+m)}{mg}\left(\frac{-2+1}{2}\right) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {S=-{\frac{1}{2}}v_{0}^{2}\frac{(M+m)}{mg}} \]
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .