Exercício Resolvido de Dinâmica
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Uma haste de comprimento L é inclinada de um ângulo θ em relação à vertical. Um anel é enlaçado na haste e pode deslizar ao longo da mesma sem atrito. A haste é posta a girar, em torno de um eixo vertical que passa pela sua extremidade inferior com movimento uniforme. Determinar velocidade angular que deve ser efetuada pela haste para que o anel permaneça imóvel sobre a mesa no seu ponto médio.


Dados do problema:
  • Comprimento da haste:    L;
  • Inclinação da haste:    θ;
  • Adotando a aceleração local da gravidade:    g.
Esquema do problema:

Forças que atuam no anel (Figura 1):
  • \( \vec{P} \): força peso do anel;
  • \( \vec{N} \): força normal de reação da haste sobre o anel.
Figura 1

Solução

O ângulo de inclinação da haste é θ, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual à 180°, o ângulo α entre a haste e a horizontal seerá (Figura 2-A)
\[ \alpha +\theta +90°=180°\Rightarrow \alpha =90°-\theta \]
O ângulo entre a haste e a reação normal é igual à 90°
\[ \alpha +\beta =90°\Rightarrow 90°-\theta +\beta =90° \Rightarrow \beta =\theta \]
o ângulo entre a reação normal e a horizontal também é θ (Figura 2-B).
Figura 2
Desenhamos as forças em um sistema de eixos coordenados xy (Figura 3). Como o anel gira em torno do eixo vertical escrevemos a 2.ª Lei de Newton para um corpo em movimento circular
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec{F}}_{cp}=m{\vec{a}}_{cp}} \tag{I} \end{gather} \]
A componente da força normal de reação \( \vec N \) na direção x será
\[ \begin{gather} N_{x}=N\cos \theta \tag{II} \end{gather} \]
com a única força atuando na direção x é a componente da reação normal
\[ \begin{gather} F_{cp}=N_{x}\\[5pt] F_{cp}=N\cos \theta \tag{III} \end{gather} \]
Figura 3

A aceleração centrípeta é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^{2}}{r}} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo as expressões (III) e (IV) na expressão (I)
\[ \begin{gather} N\cos \theta =m\frac{v^{2}}{r} \tag{V} \end{gather} \]
A velocidade tangencial é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=\omega r} \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VI) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} N\cos \theta =m\frac{(\omega r)^{2}}{r}\\[5pt] N\cos \theta=m\frac{\omega ^{2}r^{2}}{r}\\[5pt] N\cos \theta =m\omega ^{2}r \tag{VII} \end{gather} \]
A componente da força normal de reação \( \vec N \) na direção y será
\[ \begin{gather} N_{y}=N\operatorname{sen}\theta \tag{VIII} \end{gather} \]
Queremos que o anel permaneça imóvel, portanto, a resultante das forças nesta direção deve ser nula
\[ \begin{gather} N_{y}=P \tag{IX} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{X} \end{gather} \]
substituindo as expressões (VIII) e (X) na expressão (IX)
\[ \begin{gather} N\operatorname{sen}\theta =mg \tag{XI} \end{gather} \]
Dividindo a expressão (XI) pela expressão (VII)
\[ \begin{gather} \frac{\cancel{N}\operatorname{sen}\theta}{\cancel{N}\cos \theta}=\frac{\cancel{m}g}{\cancel{m}\omega^{2}r} \end{gather} \]
Lembrando da Trigonometria    \( \operatorname{tg}\theta =\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos \theta} \)

\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\theta =\frac{g}{\omega ^{2}r}\\[5pt] \omega^{2}=\frac{g}{\operatorname{tg}\theta r} \tag{XII} \end{gather} \]
Enquanto a haste gira em torno de um eixo vertical, o anel, fixo no ponto médio \( \left(\frac{L}{2}\right) \), descreve uma circunferência de raio r em um plano horizontal (Figura 4). Pela figura o seno do ângulo θ será
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{r}{\dfrac{L}{2}}\\[5pt] r=\frac{L}{2}\operatorname{sen}\theta \tag{XIII} \end{gather} \]

Figura 4

substituindo a expressão (XIII) na expressão (XII)
\[ \begin{gather} \omega ^{2}=\frac{g}{\operatorname{tg}\theta\dfrac{L}{2}\operatorname{sen}\theta }\\[5pt] \omega^{2}=\frac{2g}{L\operatorname{tg}\theta \operatorname{sen}\theta} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\omega =\sqrt{\frac{2g}{L\operatorname{tg}\theta\operatorname{sen}\theta }}} \end{gather} \]
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