Uma haste de comprimento L é inclinada de um ângulo θ em relação à vertical. Um anel é
enlaçado na haste e pode deslizar ao longo da mesma sem atrito. A haste é posta a girar, em torno de um
eixo vertical que passa pela sua extremidade inferior com movimento uniforme. Determinar velocidade
angular que deve ser efetuada pela haste para que o anel permaneça imóvel sobre a mesa no seu ponto médio.
Dados do problema:
- Comprimento da haste: L;
- Inclinação da haste: θ;
- Adotando a aceleração local da gravidade: g.
Esquema do problema:
Forças que atuam no anel (Figura 1):
- \( \vec P \): força peso do anel;
- \( \vec N \): força normal de reação da haste sobre o anel.
Solução:
O ângulo de inclinação da haste é
θ, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é
igual à 180°, o ângulo α entre a haste e a horizontal seerá (Figura 2-A)
\[
\begin{gather}
\alpha+\theta+90°=180°\Rightarrow\alpha=90°-\theta
\end{gather}
\]
O ângulo entre a haste e a reação normal é igual à 90°
\[
\alpha+\beta =90°\Rightarrow 90°-\theta+\beta =90° \Rightarrow\beta =\theta
\]
o ângulo entre a reação normal e a horizontal também é
θ (Figura 2-B).
Desenhamos as forças em um sistema de eixos coordenados xy (Figura 3). Como o anel gira em torno do
eixo vertical escrevemos a 2.ª Lei de Newton para um corpo em movimento circular
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{{\vec F}_{cp}=m{\vec a}_{cp}} \tag{I}
\end{gather}
\]
A componente da força normal de reação
\( \vec N \)
na direção
x será
\[
\begin{gather}
N_x=N\cos\theta \tag{II}
\end{gather}
\]
com a única força atuando na direção
x é a componente da reação normal
\[
\begin{gather}
F_{cp}=N_x \\[5pt]
F_{cp}=N\cos\theta \tag{III}
\end{gather}
\]
A aceleração centrípeta é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a_{cp}=\frac{v^2}{r}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (III) e (IV) na equação (I)
\[
\begin{gather}
N\cos\theta=m\frac{v^2}{r} \tag{V}
\end{gather}
\]
A velocidade tangencial é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\omega r} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VI) na equação (IV)
\[
\begin{gather}
N\cos\theta=m\frac{(\omega r)^2}{r} \\[5pt]
N\cos\theta=m\frac{\omega^2r^2}{r} \\[5pt]
N\cos\theta=m\omega^2r \tag{VII}
\end{gather}
\]
A componente da força normal de reação
\( \vec N \)
na direção y será
\[
\begin{gather}
N_y=N\operatorname{sen}\theta \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Queremos que o anel permaneça imóvel, portanto, a resultante das forças nesta direção deve ser nula
\[
\begin{gather}
N_y=P \tag{IX}
\end{gather}
\]
A força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (VIII) e (X) na equação (IX)
\[
\begin{gather}
N\operatorname{sen}\theta=mg \tag{XI}
\end{gather}
\]
Dividindo a equação (XI) pela equação (VII)
\[
\begin{gather}
\frac{\cancel{N}\operatorname{sen}\theta}{\cancel{N}\cos\theta}=\frac{\cancel{m}g}{\cancel{m}\omega^2r}
\end{gather}
\]
Da Trigonometria
\( \operatorname{tg}\theta=\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta} \)
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}\theta=\frac{g}{\omega^2r} \\[5pt]
\omega^2=\frac{g}{\operatorname{tg}\theta r} \tag{XII}
\end{gather}
\]
Enquanto a haste gira em torno de um eixo vertical, o anel, fixo no ponto médio
\( \left(\frac{L}{2}\right) \),
descreve uma circunferência de raio
r em um plano horizontal (Figura 4). Pela figura o seno do
ângulo
θ será
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{r}{\dfrac{L}{2}} \\[5pt]
r=\frac{L}{2}\operatorname{sen}\theta \tag{XIII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (XIII) na equação (XII)
\[
\begin{gather}
\omega^2=\frac{g}{\operatorname{tg}\theta\dfrac{L}{2}\operatorname{sen}\theta} \\[5pt]
\omega^2=\frac{2g}{L\operatorname{tg}\theta\operatorname{sen}\theta}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega =\sqrt{\frac{2g}{L\operatorname{tg}\theta\operatorname{sen}\theta}}}
\end{gather}
\]
EN
