Exercício Resolvido de Dinâmica
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Na figura, o coeficiente de atrito entre os blocos A, B e os planos sobre os quais deslizam é 0,2. As massas de A, B e C valem são iguais à 100 kg, 50 kg e 50 kg. Determinar a aceleração de cada um dos blocos e a força de tensão a corda. Adote g = 10 m/s2 e admita que 2aC = aA+aB, onde aA, aB e aC são as acelerações dos blocos A, B e C. A corda e as polias são ideais.


Dados do problema:
  • Coeficiente de atrito entre os blocos e os planos:    μ = 0,2;
  • Massa do bloco A:    mA = 100 kg;
  • Massa do bloco B:    mB = 50 kg;
  • Massa do bloco C:    mC = 50 kg;
  • Aceleração da gravidade:    g = 10 m/s2.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência positivo no mesmo sentido da aceleração, para a direita para o bloco A, para a esquerda para o bloco B e para baixo para o bloco C (Figura 1-A).

Figura 1

O bloco A é puxado pela tração \( \vec{T} \) que atua na corda, esta tração é transferida pela polia fixa da esquerda, para o lado esquerdo da polia móvel. Do lado direito da polia móvel temos a mesma tração \( \vec{T} \) que é transferida pela polia fixa da direita para o bloco B. Na corda que sai da polia móvel atua uma tração \( 2\vec{T} \) e esta tração é equilibrada pela força peso \( {\vec P}_{C} \) do bloco C (Figura 1-B).


Solução

Isolando os corpos e pesquisando as forças que atuam em cada um deles aplicamos a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
Corpo A:
  • \( {\vec P}_{A} \): força peso do bloco A;
  • \( {\vec N}_{A} \) : força normal de reação do plano no bloco A;
  • \( {\vec F}_{A at} \): força de atrito entre o plano e bloco A;
  • \( \vec{T} \): força de tensão na corda.

Figura 2

Na direção vertical não há movimento, a força peso \( {\vec P}_{A} \) e a força normal de reação \( {\vec N}_{A} \) se equilibram
\[ \begin{gather} N_{A}=P_{A} \tag{II} \end{gather} \]
na direção horizontal aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} T-F_{A at}=m_{A}a_{A} \tag{III} \end{gather} \]
Corpo B:
  • \( {\vec P}_{B} \): peso do bloco B;
  • \( {\vec N}_{B} \): reação normal do plano no bloco B;
  • \( {\vec F}_{B at} \): força de atrito entre o plano e bloco B;
  • \( \vec{T} \): tração na corda.

Figura 3

Na direção vertical não há movimento, a força peso \( {\vec P}_{B} \) e a força normal de reação \( {\vec N}_{B} \) se equilibram
\[ \begin{gather} N_{B}=P_{B} \tag{IV} \end{gather} \]
na direção horizontal aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} T-F_{B at}=m_{B}a_{B} \tag{V} \end{gather} \]
Corpo C:
  • \( {\vec P}_{C} \): força peso do bloco C;
  • \( 2\vec{T} \): força de tensão na corda.
Na direção vertical aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} P_{C}-2T=m_{C}a_{C} \tag{VI} \end{gather} \]

Figura 4

As equações (III), (V), (VI) e a condição dada no problema, \( 2a_{C}=a_{A}+a_{B} \), formam um sistema de quatro equações a quatro incógnitas (aA, aB, aC e T)
\[ \left\{ \begin{array}{l} T-F_{A at}=m_{A}a_{A}\\ T-F_{B at}=m_{B}a_{B}\\ P_{C}-2T=m_{C}a_{C}\\ 2a_{C}=a_{A}+a_{B} \end{array} \right. \]
isolando as acelerações aA, aB, e aC nas três primeiras equações do sistema
\[ \begin{gather} a_{A}=\frac{T-F_{A at}}{m_{A}} \tag{VII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} a_{B}=\frac{T-F_{B at}}{m_{B}} \tag{VIII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} a_{C}=\frac{P_{C}-2T}{m_{C}} \tag{IX} \end{gather} \]
substituindo as expressões (VII), (VIII) e (IX) na quarta equação do sistema
\[ \begin{gather} 2\left(\frac{P_{C}-2T}{m_{C}}\right)=\frac{T-F_{A at}}{m_{A}}+\frac{T-F_{B at}}{m_{B}}\\ \frac{2P_{C}-4T}{m_{C}}=\frac{T-F_{A at}}{m_{A}}+\frac{T-F_{B at}}{m_{B}} \tag{X} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{XI} \end{gather} \]
aplicando a expressão (XI) aos corpos A, B e C
\[ \begin{gather} P_{A}=m_{A}g \tag{XII-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} P_{B}=m_{B}g \tag{XII-b} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} P_{C}=m_{C}g \tag{XII-c} \end{gather} \]
A força de atrito é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{at}=\mu N} \tag{XIII} \end{gather} \]
aplicando a expressão (XIII) aos corpos A e B
\[ F_{A at}=\mu N_{A} \]
\[ F_{B at}=\mu N_{B} \]
substituindo as forças normais de reação NA e NB pelas expressões (II) e (IV)
\[ F_{A at}=\mu P_{A} \]
\[ F_{B at}=\mu P_{B} \]
substituindo as forças peso PA e PB pelas expressões (XII-a) e (XII-b)
\[ \begin{gather} F_{A at}=\mu m_{A}g \tag{XIV-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} F_{B at}=\mu m_{B}g \tag{XIV-b} \end{gather} \]
Substituindo as expressões (XII-c), (XIV-a) e (XIV-b) em (X)
\[ \frac{2m_{C}g-4T}{m_{C}}=\frac{T-\mu m_{A}g}{m_{A}}+\frac{T-\mu m_{B}g}{m_{B}} \]
substituindo os valores numéricos dados no problema
\[ \begin{gather} \frac{2.50.10-4T}{50}=\frac{T-0,2.100.10}{100}+\frac{T-0,2.50.10}{50}\\ \frac{1000-4T}{50}=\frac{T-200}{100}+\frac{T-100}{50} \end{gather} \]
multiplicando por 2 o numerador e o denominador do termo do lado esquerdo da igualdade e o segundo termo do lado direito
\[ \begin{gather} \frac{1000-4T}{50}.\frac{2}{2}=\frac{T-200}{100}+\frac{T-100}{50}.\frac{2}{2}\\ \frac{2000-8T}{\cancel{100}}=\frac{T-200}{\cancel{100}}+\frac{2T-200}{\cancel{100}}\\ 2000-8T=T-200+2T-200\\ 2000+200+200=T+2T+8T\\ 11T=2400\\ T=\frac{2400}{11}\\ T=218,2\;\text{N} \end{gather} \]
A tração na corda presa aos corpos A e B será de T = 218,2 N, a tração na corda presa ao corpo C e na polia móvel será de 2T = 2.218,2 = 436,4 N.

Substituindo as forças peso dadas pelas expressões em (XII) e as forças de atrito dadas em (XIV) nas expressões (VII), (VIII) e (IX), a tração obtida acima e os dados do problema obtemos as acelerações dos blocos
\[ \begin{gather} a_{A}=\frac{T-\mu N_{A}}{m_{A}}\\ a_{A}=\frac{T-\mu m_{A}g}{m_{A}}\\ a_{A}=\frac{218,2-0,2.100.10}{100}\\ a_{A}=\frac{218,2-200}{100}\\ a_{A}=\frac{18,2}{100}\\ a_{A}=0,182 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{A} \simeq 0,2\;\text{m/s}^{2}} \]
\[ \begin{gather} a_{B}=\frac{T-\mu N_{B}}{m_{B}}\\ a_{B}=\frac{T-\mu m_{B}g}{m_{B}}\\ a_{B}=\frac{218,2-0,2.50.10}{50}\\ a_{B}=\frac{218,2-100}{50}\\ a_{B}=\frac{118,2}{50}\\ a_{B}=2,364 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{B}\simeq 2,4\;\text{m/s}^{2}} \]
\[ \begin{gather} a_{C}=\frac{m_{C}g-2T}{m_{C}}\\ a_{C}=\frac{50.10-2.218,2}{50}\\ a_{C}=\frac{500-436,4}{50}\\ a_{C}=\frac{63,6}{50}\\ a_{C}=1,272 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{C}=1,3\;\text{m/s}^{2}} \]
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