Na figura, o coeficiente de atrito entre os blocos 1, 2 e os planos sobre os quais
deslizam é 0,2. As massas de 1, 2 e 3 valem são iguais à 100 kg, 50 kg e 50 kg.
Determinar a aceleração de cada um dos blocos e a força de tensão a corda. Adote
g = 10 m/s2 e admita que
2a3 = a1+a2, onde
a1, a2 e a3 são as acelerações dos
blocos 1, 2 e 3. A corda e as polias são ideais.
Dados do problema:
- Coeficiente de atrito entre os blocos e os planos: μ = 0,2;
- Massa do bloco 1: m1 = 100 kg;
- Massa do bloco 2: m2 = 50 kg;
- Massa do bloco 3: m3 = 50 kg;
- Aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência positivo no mesmo sentido da aceleração, para a direita para o bloco
1, para a esquerda para o bloco 2 e para baixo para o bloco 3 (Figura 1-A).
O bloco 1 é puxado pela tração
\( \vec T \)
que atua na corda, esta tração é transferida pela polia fixa da esquerda, para o lado esquerdo da polia
móvel. Do lado direito da polia móvel temos a mesma tração
\( \vec T \)
que é transferida pela polia fixa da direita para o bloco 2. Na corda que sai da polia móvel atua
uma tração
\( 2\vec T \)
e esta tração é equilibrada pela força peso
\( {\vec P}_3 \)
do bloco 3 (Figura 1-B).
Solução:
Isolando os corpos e pesquisando as forças que atuam em cada um deles aplicamos a
2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a} \tag{I}
\end{gather}
\]
Corpo 1:
- \( {\vec P}_1 \): força peso do bloco 1;
- \( {\vec N}_1 \) : força normal de reação do plano no bloco 1;
- \( {\vec F}_{1 at} \): força de atrito entre o plano e bloco A;
- \( \vec T \): força de tensão na corda.
Na direção vertical não há movimento, a força peso
\( {\vec P}_1 \)
e a força normal de reação
\( {\vec N}_1 \)
se equilibram
\[
\begin{gather}
N_1=P_1 \tag{II}
\end{gather}
\]
na direção horizontal aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
T-F_{1 at}=m_1a_1 \tag{III}
\end{gather}
\]
Corpo 2:
- \( {\vec P}_2 \): peso do bloco 2;
- \( {\vec N}_2 \): reação normal do plano no bloco 2;
- \( {\vec F}_{2 at} \): força de atrito entre o plano e bloco 2;
- \( \vec T \): tração na corda.
Na direção vertical não há movimento, a força peso
\( {\vec P}_2 \)
e a força normal de reação
\( {\vec N}_2 \)
se equilibram
\[
\begin{gather}
N_2=P_2 \tag{IV}
\end{gather}
\]
na direção horizontal aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
T-F_{2 at}=m_2a_2 \tag{V}
\end{gather}
\]
Corpo 3:
- \( {\vec P}_3 \): força peso do bloco 3;
- \( 2\vec T \): força de tensão na corda.
Na direção vertical aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
P_3-2T=m_3a_3 \tag{VI}
\end{gather}
\]
As equações (III), (V), (VI) e a condição dada no problema,
\( 2a_3=a_1+a_2 \),
formam um sistema de quatro equações a quatro incógnitas (a1, a2,
a3 e T)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
T-F_{1 at}=m_1a_1 \\
T-F_{2 at}=m_2a_2 \\
P_3-2T=m_3a_3 \\
2a_3=a_1+a_2
\end{array}
\right.
\]
isolando as acelerações a1, a2, e a3 nas três
primeiras equações do sistema
\[
\begin{gather}
a_1=\frac{T-F_{1 at}}{m_1} \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_2=\frac{T-F_{2 at}}{m_2} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_3=\frac{P_3-2T}{m_3} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (VII), (VIII) e (IX) na quarta equação do sistema
\[
\begin{gather}
2\left(\frac{P_3-2T}{m_3}\right)=\frac{T-F_{1 at}}{m_1}+\frac{T-F_{2 at}}{m_2} \\[5pt]
\frac{2P_3-4T}{m_3}=\frac{T-F_{1 at}}{m_1}+\frac{T-F_{2 at}}{m_2} \tag{X}
\end{gather}
\]
A força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{XI}
\end{gather}
\]
aplicando a equação (XI) aos corpos 1, 2 e 3
\[
\begin{gather}
P_1=m_1g \tag{XII-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_2=m_2g \tag{XII-b}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_3=m_3g \tag{XII-c}
\end{gather}
\]
A força de atrito é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{at}=\mu N} \tag{XIII}
\end{gather}
\]
aplicando a equação (XIII) aos corpos 1 e 2
\[
\begin{gather}
F_{1 at}=\mu N_1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{2 at}=\mu N_2
\end{gather}
\]
substituindo as forças normais de reação N1 e N2
pelas equações (II) e (IV)
\[
\begin{gather}
F_{1 at}=\mu P_1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{2 at}=\mu P_2
\end{gather}
\]
substituindo as forças peso P1 e P2
pelas equações (XII-a) e (XII-b)
\[
\begin{gather}
F_{1 at}=\mu m_1g \tag{XIV-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{2 at}=\mu m_2g \tag{XIV-b}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (XII-c), (XIV-a) e (XIV-b) em (X)
\[
\begin{gather}
\frac{2m_3g-4T}{m_3}=\frac{T-\mu m_1g}{m_1}+\frac{T-\mu m_2g}{m_2}
\end{gather}
\]
substituindo os valores numéricos dados no problema
\[
\begin{gather}
\frac{2\times 50\times 10-4T}{50}=\frac{T-0,2\times 100\times 10}{100}+\frac{T-0,2\times 50\times 10}{50} \\[5pt]
\frac{1000-4T}{50}=\frac{T-200}{100}+\frac{T-100}{50}
\end{gather}
\]
multiplicando por 2 o numerador e o denominador do termo do lado esquerdo da igualdade e o segundo termo
do lado direito
\[
\begin{gather}
\frac{1000-4T}{50}\times\frac{2}{2}=\frac{T-200}{100}+\frac{T-100}{50}\times\frac{2}{2} \\[5pt]
\frac{2000-8T}{\cancel{100}}=\frac{T-200}{\cancel{100}}+\frac{2T-200}{\cancel{100}} \\[5pt]
2000-8T=T-200+2T-200 \\[5pt]
2000+200+200=T+2T+8T \\[5pt]
11T=2400 \\[5pt]
T=\frac{2400}{11} \\[5pt]
T=218,2\;\mathrm N
\end{gather}
\]
A tração na corda presa aos corpos 1 e 2 será de
T = 218,2 N,
a tração na corda presa ao corpo 3 e na polia móvel será de
2T = 2\times 218,2 = 436,4 N.
Substituindo as forças peso dadas pelas expressões em (XII) e as forças de atrito dadas em (XIV) nas
equações (VII), (VIII) e (IX), a tração obtida acima e os dados do problema obtemos as acelerações dos
blocos
\[
\begin{gather}
a_1=\frac{T-\mu N_1}{m_1} \\[5pt]
a_1=\frac{T-\mu m_1g}{m_1} \\[5pt]
a_1=\frac{218,2-0,2\times 100\times 10}{100} \\[5pt]
a_1=\frac{218,2-200}{100} \\[5pt]
a_1=\frac{18,2}{100} \\[5pt]
a_1=0,182
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_1\approx 0,2\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_2=\frac{T-\mu N_2}{m_2} \\[5pt]
a_2=\frac{T-\mu m_2g}{m_2} \\[5pt]
a_2=\frac{218,2-0,2\times 50\times 10}{50} \\[5pt]
a_2=\frac{218,2-100}{50} \\[5pt]
a_2=\frac{118,2}{50} \\[5pt]
a_2=2,364
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_2\simeq 2,4\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_3=\frac{m_3g-2T}{m_3} \\[5pt]
a_3=\frac{50\times 10-2\times 218,2}{50} \\[5pt]
a_3=\frac{500-436,4}{50} \\[5pt]
a_3=\frac{63,6}{50} \\[5pt]
a_3=1,272
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_3=1,3\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
EN
