Uma corda passa por uma polia 1 fixa no teto, numa das extremidades existe um bloco de massa
mA = 36 kg, e na outra extremidade uma polia 2. Por esta segunda polia passa uma corda
em cujas extremidades se encontram corpos de massas mB = 16 kg e
mC = 8 kg (este sistema é uma máquina de Atwood dupla). Calcular as acelerações das
massas e as trações nas cordas. Desprezam-se as massas e atritos das polias, adote a aceleração da
gravidade igual à 10 m/s2.
Dados do problema:
- Massa do corpo A: mA = 36 kg;
- Massa do corpo B: mB = 16 kg;
- Massa do corpo C: mC = 8 kg;
- Aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.
Esquema do problema:
A força peso do corpo C
\( {\vec P}_{\small C} \)
produz uma tração
\( \vec T \)
na corda, esta é transferida pela corda para o outro lado da polia móvel, esta tração atua na corda que
prende o corpo B onde atua a força peso
\( {\vec P}_{\small B} \).
Para equilibrar estas duas trações na corda da polia móvel atua a tração
\( 2\vec T \).
Esta tração é transmitida pela corda que passa pela segunda polia (fixa) para o outro lado da polia,
onde atua a força peso
\( {\vec P}_{\small A} \)
devido ao corpo A. Para equilibrar estas duas trações temos na corda que sai da polia fixa uma
tração igual à
\( 4\vec T \)
(Figura 1).
Observação: Se começássemos pelo corpo A, na corda teríamos uma tração
\( \vec T \),
transmitida para o outro lado da polia fixa, e equilibrada por uma tração
\( 2\vec T \)
no teto. Na polia móvel teríamos a tração
\( \vec T \)
transmitida pela corda e que se dividira em
\( \frac{\vec T}{2} \)
para os corpos B e C.
Solução:
Como o bloco
A tem massa maior que a soma dos outros blocos este desce com aceleração
\( {\vec a}_{\small A} \),
a corda que passa pela polia 1 puxa a polia com a mesma aceleração (Figura 2). Na segunda polia o bloco
B possui massa maior que o bloco
C, então o bloco
B desce com aceleração
\( {\vec a}_{\small B} \)
e o bloco
C sobe com aceleração
\( {\vec a}_{\small C} \)
(estas acelerações são em relação à polia 1).
Isolando os corpos e pesquisando as forças que atuam em cada um deles aplicamos a
2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a} \tag{I}
\end{gather}
\]
Corpo
A:
- \( {\vec P}_{\small A} \): força peso do corpo A;
- \( \vec T \): força de tensão na corda.
Adotamos o sentido positivo no mesmo sentido da aceleração (Figura 3). Na direção horizontal não há
forças atuando, na direção vertical aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
P_{\small A}-2T=m_{\small A}a_{\small A} \tag{II}
\end{gather}
\]
Corpo
B:
- \( {\vec P}_{\small B} \): força peso do corpo B;
- \( \vec T \): força de tensão na corda.
Adotamos o sentido positivo no mesmo sentido da aceleração. (Figura 4) Na direção horizontal não há
forças atuando, na direção vertical aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
P_{\small B}-T=m_{\small B}a_{\small B} \tag{III}
\end{gather}
\]
Corpo
C:
- \( {\vec P}_{\small C} \): força peso do corpo C;
- \( \vec T \): força de tensão na corda.
Adotamos o sentido positivo no mesmo sentido da aceleração (Figura 5). Na direção horizontal não há
forças atuando, na direção vertical aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
T-P_{\small C}=m_{\small C}a_{\small C} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Observação: As equações (II), (III) e (IV) formam um sistema de três equações a quatro
incógnitas (aA, aB, aC e T), como existem
mais incógnitas do que equações esse sistema será indeterminado.
Consideramos os movimentos dos blocos B e C em relação à polia móvel e a polia fixa. Adotamos
um sistema de referência RI na polia fixa, referencial inercial, e um sistema
RN na polia móvel, referencial não-inercial (Figura 6).
A polia 2 possui a mesma aceleração que o bloco A, portanto a aceleração do referencial nesta polia
é mesma aceleração do bloco A
\[
\begin{gather}
a_{R_{\text N}}=a_{\small A} \tag{V}
\end{gather}
\]
Os blocos
B e
C possuem, em relação ao referencial não-inercial, a
mesma aceleração
\( \vec a \),
o que um sobe de um lado o outro desce do outro lado.
A aceleração em relação ao referencial inercial será a soma da aceleração do bloco em relação ao
referencial não-inercial com a aceleração do próprio referencial não-inercial.
Corpo
B:
\[
\begin{gather}
a_{\small B}=a_{B/R_{\text N}}+a_{R_{\text N}} \tag{VI}
\end{gather}
\]
a aceleração em relação ao referencial não-inercial será
\[
\begin{gather}
a_{B/R_{\text N}}=-a \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (V) e (VII) na equação (VI)
\[
\begin{gather}
a_{\small B}=-a+a_{\small A} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Corpo C:
\[
\begin{gather}
a_{\small C}=a_{C/R_{\text N}}+a_{R_{\text N}} \tag{IX}
\end{gather}
\]
a aceleração em relação ao referencial não-inercial será
\[
\begin{gather}
a_{C/R_{\text N}}=a \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (V) e (X) na equação (IX)
\[
\begin{gather}
a_{\small C}=a+a_{\small A} \tag{XI}
\end{gather}
\]
Somando as equações (VIII) e (XI)
\[
\begin{gather}
\frac{
\begin{matrix}
a_{\small B}=-a+a_{\small A} \\
a_{\small C}=a+a_{\small A}
\end{matrix}}
{a_{\small B}+a_{\small C}=0+2a_{\small A}} \\[5pt]
2a_{\small A}=a_{\small B}+a_{\small C} \tag{XII}
\end{gather}
\]
As equações (II), (III), (IV) e (XII) formam um sistema de quatro equações a quatro incógnitas
(aA, aB, aC e T)
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{matrix}
\;P_{\small A}-2T=m_{\small A}a_{\small A} \\
\;P_{\small B}-T=m_{\small B}a_{\small B} \\
\;T-P_{\small C}=m_{\small C}a_{\small C} \\
\;2a_{\small A}=a_{\small B}+a_{\small C} \tag{XIII}
\end{matrix}
\right.
\end{gather}
\]
isolando as acelerações aA, aB, e aC na primeira,
segunda e terceira equações do sistema (XIII) e substituindo na quarta equação
\[
\begin{gather}
a_{\small A}=\frac{P_{\small A}-2T}{m_{\small A}} \tag{XIV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_{\small B}=\frac{P_{\small B}-T}{m_{\small B}} \tag{XV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_{\small C}=\frac{T-P_{\small C}}{m_{\small C}} \tag{XVI}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
2\left(\frac{P_{\small A}-2T}{m_{\small A}}\right)=\frac{P_{\small B}-T}{m_{\small B}}+\frac{T-P_{\small C}}{m_{\small C}} \\[5pt]
\frac{2P_{\small A}-4T}{m_{\small A}}=\frac{P_{\small B}-T}{m_{\small B}}+\frac{T-P_{\small C}}{m_{\small C}}
\end{gather}
\]
A força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
escrevendo as forças peso dos corpos A, B e C
\[
\begin{gather}
P_{\small A}=m_{\small A}g \tag{XVII-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_{\small B}=m_{\small B}g \tag{XVII-b}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_{\small C}=m_{\small C}g \tag{XVII-c}
\end{gather}
\]
substituindo estas expressões
\[
\begin{gather}
\frac{2m_{\small A}g-4T}{m_{\small A}}=\frac{m_{\small B}g-T}{m_{\small B}}+\frac{T-m_{\small C}g}{m_{\small C}}
\end{gather}
\]
o fator comum entre mA, mB e mC é
mA.mB.mC
\[
\begin{gather}
\frac{2m_{\small A}m_{\small B}m_{\small C}g-4Tm_{\small B}m_{\small C}}{\cancel{m_{\small A}m_{\small B}m_{\small C}}}=\frac{m_{\small A}m_{\small B}m_{\small C}g-Tm_{\small A}m_{\small C}+Tm_{\small A}m_{\small B}-m_{\small A}m_{\small B}m_{\small C}g}{\cancel{m_{\small A}m_{\small B}m_{\small C}}} \\[5pt]
2m_{\small A}m_{\small B}m_{\small C}g-4Tm_{\small B}m_{\small C}=-Tm_{\small A}m_{\small C}+Tm_{\small A}m_{\small B} \\[5pt]
2m_{\small A}m_{\small B}m_{\small C}g=-Tm_{\small A}m_{\small C}+Tm_{\small A}m_{\small B}+4Tm_{\small B}m_{\small C} \\[5pt]
2m_{\small A}m_{\small B}m_{\small C}g=T(-m_{\small A}m_{\small C}+m_{\small A}m_{\small B}+4m_{\small B}m_{\small C}) \\[5pt]
T=\frac{2m_{\small A}m_{\small B}m_{\small C}g}{-m_{\small A}m_{\small C}+m_{\small A}m_{\small B}+4m_{\small B}m_{\small C}} \\[5pt]
T=\frac{2\times 36\times 16\times 8\times 10}{-36\times 8+36\times 16+4\times 16\times 8} \\[5pt]
T=\frac{92160}{800} \\[5pt]
T=115,2\;\mathrm N
\end{gather}
\]
A tração na corda presa aos corpos B e C será de
T = 115,2 N,
a tração na corda presa ao corpo A e na polia 2 será de
2T = 2\times 115,2 = 230,4 N
e a tração na corda presa à polia 1, fixa no teto, será de
4T = 4\times 115,2 = 460,8 N .
Substituindo as forças peso dadas pelas expressões em (XVII) nas equações (XIV), (XV) e (XVI), a tração
obtida acima e os dados do problema, obtemos as acelerações dos blocos
\[
\begin{gather}
a_{\small A}=\frac{m_{\small A}g-2T}{m_{\small A}} \\[5pt]
a_{\small A}=\frac{36\times 10-2\times 115,2}{36} \\[5pt]
a_{\small A}=\frac{360-230,4}{36} \\[5pt]
a_{\small A}=\frac{129,6}{36}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{\small A}=3,6\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_{\small B}=\frac{m_{\small B}g-T}{m_{\small B}} \\[5pt]
a_{\small B}=\frac{16\times 10-115,2}{16} \\[5pt]
a_{\small B}=\frac{160-115,2}{16} \\[5pt]
a_{\small B}=\frac{44,8}{16}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{\small B}=2,8\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_{\small C}=\frac{T-m_{\small C}g}{m_{\small C}} \\[5pt]
a_{\small C}=\frac{115,2-8\times 10}{8} \\[5pt]
a_{\small C}=\frac{115,2-80}{8} \\[5pt]
a_{\small C}=\frac{35,2}{8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a_{\small C}=4,4\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
EN
