Exercício Resolvido de Dinâmica
No sistema da figura as massas de 1, 2 e 3 valem, respectivamente, 10 kg, 20 kg e 5 kg e o sen θ = 0,8. Desprezando os atritos, calcular a aceleração do conjunto e a intensidade das forças de tração nas cordas. Adotar g = 10 m/s2.

Dados do problema:

  • Massa do corpo 1: m1 = 10 kg;
  • Massa do corpo 2: m2 = 20 kg;
  • Massa do corpo 3: m3 = 5 kg;
  • Aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.

Esquema do problema:

Escolhemos a aceleração do sistema no sentido em que o corpo 1 está descendo e o corpo 3 está subindo (Figura 1).
Figura 1

Solução:

Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam em cada um deles.
Corpo 1 (Figura 2-A):

  • \( {\vec P}_1 \): força peso do corpo 1;
  • \( {\vec N}_1 \): força normal de reação do plano no corpo 1;
  • \( {\vec T}_{12} \): força de tensão na corda entre os blocos 1 e 2.

Adotamos um sistema de referência xy com o eixo-x paralelo ao plano inclinado e no sentido da aceleração. A força peso \( {\vec P}_1 \) pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela ao eixo-x \( {\vec P}_{1\small P} \) e a outra componente normal ou perpendicular \( {\vec P}_{1\small N} \).

Figura 2

No triângulo à esquerda na Figura 2-B vemos que a força peso é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90º, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é dado igual à θ. Como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, o ângulo entre a força peso \( {\vec P}_1 \) e a componente paralela \( {\vec P}_{1\small P} \) será

\[ \begin{gather} \alpha+\theta+90°=180°\Rightarrow\alpha=180°-\theta-90°\Rightarrow\alpha=90°-\theta \end{gather} \]

As componentes do peso nas direções x e y são perpendiculares entre si, no triângulo à direita o ângulo entre a força peso \( \vec P_1 \) e a componente normal da força peso \( {\vec P}_{1\small N} \) será

\[ \begin{gather} 90°-\alpha\Rightarrow 90°-(90°-\theta)\Rightarrow 90°-90°+\theta\Rightarrow\theta \end{gather} \]

Desenhando as forças num sistema de eixos coordenados xy (Figura 2-C), aplicamos a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \tag{I} \end{gather} \]

Na direção y não há movimento, a força normal de reação \( {\vec N}_1 \) e a componente normal da força peso \( {\vec P}_{1\small N} \) se anulam.
Na direção x, considerando o ângulo θ medido a partir do eixo-y ao contrário do que se faz usualmente quando se mede o ângulo com o eixo-x

\[ \begin{gather} P_{1\small P}-T_{12}=m_1a \tag{II} \end{gather} \]

a componente paralela ao eixo-x é dada por

\[ \begin{gather} P_{1\small P}=P_1\operatorname{sen}\theta \tag{III} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na equação (II)

\[ \begin{gather} P_1\operatorname{sen}\theta-T_{12}=m_1a \tag{IV} \end{gather} \]

A força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a equação (V) na equação (IV) para o corpo 1

\[ \begin{gather} m_1g\operatorname{sen}\theta-T_{12}=m_1a \tag{VI} \end{gather} \]

Corpo 2:

  • \( {\vec P}_2 \): força peso do corpo 2;
  • \( {\vec N}_2 \): força normal de reação da superfície.
  • \( {\vec T}_{12} \): força de tensão na corda entre os blocos 1 e 2;
  • \( {\vec T}_{23} \): força de tensão na corda entre os blocos 2 e 3.
Figura 3

Na direção y não há movimento, a força normal de reação \( {\vec N}_2 \) e a força peso \( {\vec P}_2 \) se anulam.
Na direção x, aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} T_{12}-T_{23}=m_2a \tag{VII} \end{gather} \]

Corpo 3:

  • \( {\vec P}_3 \): força peso do corpo 3;
  • \( {\vec T}_{23} \): força de tensão na corda entre os blocos 2 e 3.
Figura 4

Na direção horizontal não há forças atuando.
Na direção vertical, aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} T_{23}-P_3=m_3a \tag{VIII} \end{gather} \]

substituindo a equação (V) na equação (VIII) para o corpo 3

\[ \begin{gather} T_{23}-m_3g=m_3a \tag{IX} \end{gather} \]

As equações (VI), (VII) e (IX) formam um sistema de três equações a três incógnitas (TAB, TBC e a)

\[ \left\{ \begin{array}{l} m_1g\operatorname{sen}\theta-T_{12}=m_1a \\ T_{12}-T_{23}=m_2a \\ T_{23}-m_3g=m_3a \end{array} \tag{X} \right. \]

somando as três equações

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} m_1g\operatorname{sen}\theta-\cancel{T_{12}}=m_1a \\ \cancel{T_{12}}-\cancel{T_{23}}=m_2a \\ \text{(+)}\qquad\cancel{T_{23}}-m_3g=m_3a \end{align} } {m_1g\operatorname{sen}\theta-m_3g=\left(m_1+m_2+m_3\right)a} \\[5pt] a=\frac{m_1g\operatorname{sen}\theta-m_3g}{m_1+m_2+m_3} \tag{XI} \end{gather} \]

substituindo os valores dados no problema na equação (XI)

\[ \begin{gather} a=\frac{10\times 10\times 0,8-5\times 10}{10+20+5} \\[5pt] a=\frac{80-50}{35} \\[5pt] a=\frac{30}{35} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=0,86\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

Substituindo a massa do corpo 1, o valor do seno θ e a aceleração encontrada acima, na primeira equação do sistema (X), a tensão na corda será

\[ \begin{gather} m_1g\operatorname{sen}\theta-T_{12}=m_1a \\[5pt] 10\times 10\times 0,8-T_{12}=10\times 0,86 \\[5pt] 80-T_{12}=8,6 \\[5pt] T_{12}=80-8,6 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{12}=71,4\;\mathrm N} \end{gather} \]

Substituindo a massa do corpo 3 e a aceleração, encontrada acima, na terceira equação do sistema (X), a tensão na corda será

\[ \begin{gather} T_{23}-m_3g=m_3a \\[5pt] T_{23}-5\times 10=3\times 0,86 \\[5pt] T_{23}-50=2,58 \\[5pt] T_{23}=50+2,58 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{23}=52,6\;\mathrm N} \end{gather} \]
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