Exercício Resolvido de Dinâmica
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No sistema da figura as massas de A, B e C valem, respectivamente, 10 kg, 20 kg e 5 kg e o sen θ = 0,8. Desprezando os atritos, calcular a aceleração do conjunto e a intensidade das forças de tração nas cordas. Adotar g = 10 m/s2.


Dados do problema:
  • Massa do corpo A:    mA = 10 kg;
  • Massa do corpo B:    mB = 20 kg;
  • Massa do corpo C:    mC = 5 kg;
  • Aceleração da gravidade:    g = 10 m/s2.
Esquema do problema:

Escolhemos a aceleração do sistema no sentido em que o corpo A está descendo e o corpo C está subindo (Figura 1).
Figura 1

Solução

Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam em cada um deles.
Corpo A (Figura 2-A):
  • \( {\vec P}_{A} \): força peso do corpo A;
  • \( {\vec N}_{A} \): força normal de reação do plano no corpo A;
  • \( {\vec T}_{AB} \): força de tensão na corda entre os blocos A e B.
Adotamos um sistema de referência xy com o eixo-x paralelo ao plano inclinado e no sentido da aceleração. A força peso \( {\vec P}_{A} \) pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela ao eixo-x \( {\vec P}_{AP} \) e a outra componente normal ou perpendicular \( {\vec P}_{AN} \).

Figura 2

No triângulo à esquerda na Figura 2-B vemos que a força peso é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90º, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é dado igual à θ. Como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, o ângulo entre a força peso \( {\vec P}_{A} \) e a componente paralela \( {\vec P}_{AP} \) será
\[ \alpha +\theta +90°=180°\Rightarrow \alpha=180°-\theta -90°\Rightarrow \alpha=90°-\theta \]
As componentes do peso nas direções x e y são perpendiculares entre si, no triângulo à direita o ângulo entre a força peso \( \vec{P}_{A} \) e a componente normal da força peso \( {\vec P}_{AN} \) será
\[ 90°-\alpha \Rightarrow 90°-(90°-\theta)\Rightarrow 90°-90°+\theta \Rightarrow \theta \]
Desenhando as forças num sistema de eixos coordenados xy (Figura 2-C), aplicamos a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
Na direção y não há movimento, a força normal de reação \( {\vec N}_{A} \) e a componente normal da força peso \( {\vec P}_{AN} \) se anulam.
Na direção x, considerando o ângulo θ medido a partir do eixo-y ao contrário do que se faz usualmente quando se mede o ângulo com o eixo-x
\[ \begin{gather} P_{AP}-T_{AB}=m_{A}a \tag{II} \end{gather} \]
a componente paralela ao eixo-x é dada por
\[ \begin{gather} P_{AP}=P_{A}\operatorname{sen}\theta \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[ \begin{gather} P_{A}\operatorname{sen}\theta -T_{AB}=m_{A}a \tag{IV} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) na expressão (IV) para o corpo A
\[ \begin{gather} m_{A}g\operatorname{sen}\theta -T_{AB}=m_{A}a \tag{VI} \end{gather} \]
Corpo B:
  • \( {\vec P}_{B} \): força peso do corpo B;
  • \( {\vec N}_{B} \): força normal de reação da superfície.
  • \( {\vec T}_{AB} \): força de tensão na corda entre os blocos A e B;
  • \( {\vec T}_{BC} \): força de tensão na corda entre os blocos B e C.

Figura 3
Na direção y não há movimento, a força normal de reação \( {\vec N}_{B} \) e a força peso \( {\vec P}_{B} \) se anulam.
Na direção x, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} T_{AB}-T_{BC}=m_{B}a \tag{VII} \end{gather} \]
Corpo C:
  • \( {\vec{P}}_{C} \): força peso do corpo C;
  • \( {\vec{T}}_{BC} \): força de tensão na corda entre os blocos B e C.

Figura 4
Na direção horizontal não há forças atuando.
Na direção vertical, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} T_{BC}-P_{C}=m_{C}a \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) na expressão (VIII) para o corpo C
\[ \begin{gather} T_{BC}-m_{C}g=m_{C}a \tag{IX} \end{gather} \]
As equações (VI), (VII) e (IX) formam um sistema de três equações a três incógnitas (TAB, TBC e a)
\[ \left\{ \begin{array}{l} m_{A}g\operatorname{sen}\theta-T_{AB}=m_{A}a\\ T_{AB}-T_{BC}=m_{B}a\\ T_{BC}-m_{C}g=m_{C}a \end{array} \tag{X} \right. \]
somando as três equações
\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} m_{A}g\operatorname{sen}\theta-\cancel{T_{AB}}=m_{A}a\\ \cancel{T_{AB}}-\cancel{T_{BC}}=m_{B}a\\ \text{(+)}\qquad\cancel{T_{BC}}-m_{C}g=m_{C}a \end{align} } {m_{A}g\operatorname{sen}\theta-m_{C}g=\left(m_{A}+m_{B}+m_{C}\right)a}\\ a=\frac{m_{A}g\operatorname{sen}\theta-m_{C}g}{m_{A}+m_{B}+m_{C}} \tag{XI} \end{gather} \]
substituindo os valores dados no problema na expressão (XI)
\[ \begin{gather} a=\frac{10.10.0,8-5.10}{10+20+5}\\ a=\frac{80-50}{35}\\ a=\frac{30}{35} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a=0,86\;\text{m/s}^{2}} \]
Substituindo a massa do corpo A, o valor do seno θ e a aceleração encontrada acima, na primeira equação do sistema (X), a tensão na corda será
\[ \begin{gather} m_{A}g\operatorname{sen}\theta-T_{AB}=m_{A}a\\ 10.10.0,8-T_{AB}=10.0,86\\ 80-T_{AB}=8,6\\ T_{AB}=80-8,6 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{AB}=71,4\;\text{N}} \]
Substituindo a massa do corpo C e a aceleração, encontrada acima, na terceira equação do sistema (X), a tensão na corda será
\[ \begin{gather} T_{BC}-m_{C}g=m_{C}a\\ T_{BC}-5.10=3.0,86\\ T_{BC}-50=2,58\\ T_{BC}=50+2,58 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{BC}=52,6\;\text{N}} \]
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