Exercício Resolvido de Dinâmica
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Os corpos 1 e 2 têm massas 3m e 2m respectivamente e deslizam sem atrito sobre o plano horizontal, o corpo 3, pendurado na corda, tem massa m. Considere que a corda é inextensível e sem massa, a roldana é de massa desprezível e sem atrito, e a aceleração da gravidade é g. Calcular as intensidades:
a) Da aceleração do corpo 3;
b) Da força de reação do corpo 2 sobre 1.

Dados do problema:

  • Massa do corpo 1: m1 = 3m;
  • Massa do corpo 2: m2 = 2m;
  • Massa do corpo 3: m3 = m;
  • Aceleração da gravidade: g.

Esquema do problema:

Escolhemos a aceleração no sentido em que o corpo 3 está descendo (Figura 1).
Figura 1

Solução:

Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam em cada um deles aplicamos a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \tag{I} \end{gather} \]
Corpo 1:
  • \( {\vec P}_1 \): força peso do corpo 1;
  • \( {\vec N}_1 \): força normal de reação da superfície;
  • \( \vec T \): força de tensão na corda;
  • \( {\vec F}_{21} \): força de reação do corpo 2 sobre 1, \( \left|{\vec F}_{21}\right|=\left|{\vec F}_{12}\right| \).
Figura 2

Na direção vertical não há movimento, a força peso \( {\vec P}_1 \) e a força normal de reação \( {\vec N}_1 \) se anulam. Na direção horizontal, aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} T-F_{12}=m_1a \tag{II} \end{gather} \]
Corpo 2:
  • \( {\vec P}_2 \): força peso do corpo 2;
  • \( {\vec N}_2 \): força normal de reação da superfície;
  • \( {\vec F}_{12} \): força da ação do corpo 1 sobre 2.
Figura 3

Na direção vertical não há movimento, a força peso \( {\vec P}_2 \) e a força normal de reação \( {\vec N}_2 \) se anulam. Na direção horizontal, aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} F_{12}=m_2a \tag{III} \end{gather} \]
Corpo 3:
  • \( {\vec P}_3 \): força peso do corpo 3;
  • \( \vec T \): força de tensão na corda.
Figura 4

Na direção horizontal não há forças atuando. Na direção vertical, aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} P_3-T=m_3a \tag{IV} \end{gather} \]

a) As equações (II), (III) e (IV) formam um sistema de três equações a três incógnitas, a, T e FAB

\[ \left\{ \begin{array}{l} T-F_{12}=m_1a \\ F_{12}=m_2a \\ P_3-T=m_3a \end{array} \right. \]

somando as três equações

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} \cancel T-\cancel{F_{12}}&=m_1a \\ \cancel{F_{12}}&=m_2a \\ \mathrm{(+)}\qquad P_3-\cancel T&=m_3a \end{align} } {P_3=m_1a+m_2a+m_3a} \end{gather} \]

a força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]

para o corpo 3

\[ \begin{gather} P_3=m_3g \end{gather} \]

colocando a aceleração a em evidência do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} m_3g=a\left(m_1+m_2+m_3\right) \end{gather} \]

substituindo os valores dados

\[ \begin{gather} mg=a\left(3m+2m+m \right) \\[5pt] mg=6ma \\[5pt] a=\frac{\cancel m g}{6\cancel m} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=\frac{g}{6}} \end{gather} \]

b) Para calcular a força de reação do corpo 2 sobre 1, FAB, utilizamos a equação (III) lembrando que \( \left|{\vec F}_{21}\right|=\left|{\vec F}_{12}\right| \)

\[ \begin{gather} F_{12}=m_2a \end{gather} \]

substituindo a massa do corpo 2 dada no problema e a aceleração encontrada no item anterior

\[ \begin{gather} F_{12}=\cancel 2 m\frac{g}{\cancelto{3}{6}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{12}=\frac{1}{3}mg} \end{gather} \]
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