Exercício Resolvido de Dinâmica
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Os corpos A e B têm massas 3m e 2m respectivamente e deslizam sem atrito sobre o plano horizontal, o corpo C, pendurado na corda, tem massa m. Considere que a corda é inextensível e sem massa, a roldana é de massa desprezível e sem atrito, e a aceleração da gravidade é g. Calcular as intensidades:
a) Da aceleração do corpo C;
b) Da força de reação do corpo B sobre A.


Dados do problema:
  • Massa do corpo A:    mA = 3m;
  • Massa do corpo B:    mB = 2m;
  • Massa do corpo C:    mC = m;
  • Aceleração da gravidade:    g.
Esquema do problema:

Escolhemos a aceleração no sentido em que o corpo C está descendo (Figura 1).
Figura 1

Solução

Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam em cada um deles aplicamos a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
Corpo A:
  • \( {\vec P}_{A} \): força peso do corpo A;
  • \( {\vec N}_{A} \): força normal de reação da superfície;
  • \( \vec{T} \): força de tensão na corda;
  • \( {\vec F}_{BA} \): força de reação do corpo B sobre A, \( \left|{\vec F}_{BA}\right|=\left|{\vec F}_{AB}\right| \).

Figura 2

Na direção vertical não há movimento, a força peso \( {\vec P}_{A} \) e a força normal de reação \( {\vec{N}}_{A} \) se anulam. Na direção horizontal, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} T-F_{AB}=m_{A}a \tag{II} \end{gather} \]
Corpo B:
  • \( {\vec P}_{B} \): força peso do corpo B;
  • \( {\vec N}_{B} \): força normal de reação da superfície;
  • \( {\vec F}_{AB} \): força da ação do corpo A sobre B.

Figura 3

Na direção vertical não há movimento, a força peso \( {\vec P}_{B} \) e a força normal de reação \( {\vec N}_{B} \) se anulam. Na direção horizontal, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} F_{AB}=m_{B}a \tag{III} \end{gather} \]
Corpo C:
  • \( {\vec P}_{C} \): força peso do corpo C;
  • \( \vec{T} \): força de tensão na corda.

Figura 4

Na direção horizontal não há forças atuando. Na direção vertical, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} P_{C}-T=m_{C}a \tag{IV} \end{gather} \]
a) As equações (II), (III) e (IV) formam um sistema de três equações a três incógnitas, a, T e FAB
\[ \left\{ \begin{array}{l} T-F_{AB}=m_{A}a\\ F_{AB}=m_{B}a\\ P_{C}-T=m_{C}a \end{array} \right. \]
somando as três equações
\[ \frac{ \begin{aligned} \cancel{T}-\cancel{F_{AB}}=m_{A}a\\ \cancel{F_{AB}}=m_{B}a\\ \text{(+)}\qquad P_{C}-\cancel{T}=m_{C}a \end{aligned} } {P_{C}=m_{A}a+m_{B}a+m_{C}a} \]
a força peso é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \]
para o corpo C
\[ P_{C}=m_{C}g \]
colocando a aceleração a em evidência do lado direito da igualdade
\[ m_{C}g=a\left(m_{A}+m_{B}+m_{C}\right) \]
substituindo os valores dados
\[ \begin{gather} mg=a\left(3m+2m+m \right)\\ mg=6ma\\ a=\frac{\cancel{m}g}{6\cancel{m}} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a=\frac{g}{6}} \]

b) Para calcular a força de reação do corpo B sobre A, FAB, utilizamos a expressão (III) lembrando que \( \left|{\vec{F}}_{BA}\right|=\left|{\vec{F}}_{AB}\right| \)
\[ F_{AB}=m_{B}a \]
substituindo a massa do corpo B dada no problema e a aceleração encontrada no item anterior
\[ F_{AB}=\cancel{2}m\frac{g}{\cancelto{3}{6}} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{AB}=\frac{1}{3}mg} \]
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