Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um plano inclinado foi suspenso de modo que as massas m e M estão ligadas pelos dois lados pelas cordas A e B, conforme figura. Desprezando as massas das cordas e os atritos nas polias e sendo dados o ângulo de inclinação do plano igual à θ e a aceleração da gravidade g, determine:
a) A aceleração do conjunto, sabendo que a massa M está descendo o plano;
b) A diferença entre as tensões TA e TB.


Dados do problema:
  • Massa do bloco 1:    M;
  • Massa do bloco 2:    m;
  • Ângulo de inclinação do plano:    θ;
  • Aceleração da gravidade:    g.
Esquema do problema:

A aceleração do sistema está no sentido do bloco de massa M descendo o plano e a massa m subindo (Figura 1).

Figura 1

Solução

Isolando os corpos e pesquisando as forças que atuam em cada um deles e aplicamos a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I} \end{gather} \]
Bloco 1:
  • \( {\vec P}_{M} \): força peso do bloco 1;
  • \( \vec{N} \): força normal de reação do plano sobre o bloco 1;
  • \( {\vec T}_{A} \): força de tensão na corda A;
  • \( {\vec T}_{B} \): força de tensão na corda B.
Adotamos um sistema de referência xy, com o eixo-x paralelo ao plano inclinado e sentido descendente (Figura 2-A). A força peso \( {\vec P}_{M} \) pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela ao eixo-x, \( {\vec{P}}_{P} \), e a outra componente normal ou perpendicular \( {\vec P}_{N} \). No triângulo à direita na Figura 2-B vemos que a força peso \( {\vec P}_{M} \) é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é igual à θ, como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, o ângulo α entre a força peso e a componente paralela deve ser
\[ \alpha +\theta +90°=180°\Rightarrow \alpha=180°-\theta -90°\Rightarrow \alpha=90°-\theta \]
As componentes do peso nas direções x e y são perpendiculares entre si, no triângulo à esquerda temos que o ângulo entre a força peso \( {\vec P}_{M} \) e a componente do peso na direção y, \( {\vec{P}}_{N} \), é
\[ 90°-\alpha \Rightarrow 90°-(90°-\theta)\Rightarrow 90°-90°+\theta \Rightarrow \theta \]


Figura 2

Desenhando os vetores em um sistema de eixos coordenados, na direção y a força peso \( {\vec P}_{M} \) e a força normal de reação \( {\vec N} \) se anulam, não há movimento nesta direção. Na direção x aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} P_{P}+T_{B}-T_{A}=Ma \tag{II} \end{gather} \]
O ângulo θ é medido com o eixo-y, ao contrário do que se faz usualmente quando é usado o ângulo com o eixo-x. A componente do peso na direção x é dada por (Figura 2-C)
\[ \begin{gather} P_{P}=P_{M}\operatorname{sen}\theta \tag{III} \end{gather} \]
a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) em (III) para a massa M
\[ \begin{gather} P_{P}=Mg\operatorname{sen}\theta \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) na expressão (II)
\[ \begin{gather} Mg\operatorname{sen}\theta +T_{B}-T_{A}=Ma \tag{VI} \end{gather} \]
Bloco 2:
  • \( {\vec P}_{m} \): força peso do bloco 2;
  • \( {\vec T}_{A} \): força de tensão na corda A;
  • \( {\vec T}_{B} \): força de tensão na corda B.

Figura 3

Adotamos o sentido positivo para cima, no mesmo sentido da aceleração do sistema. Na direção horizontal não há forças atuando no bloco. Na direção vertical aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} T_{A}-T_{B}-P_{m}=ma \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) em (VII) para a massa m
\[ \begin{gather} P_{m}=mg \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VIII) na expressão (VII)
\[ \begin{gather} T_{A}-T_{B}-mg=ma \tag{IX} \end{gather} \]
a) Somando as expressões (VI) e (IX) temos a aceleração do sistema
\[ \frac{\left. \begin{align} \;Mg\operatorname{sen}\theta+\cancel{T_{B}}-\cancel{T_{A}}=Ma\\ \;\cancel{T_{A}}-\cancel{T_{B}}-mg=ma \end{align} \right.} {Mg\operatorname{sen}\theta -mg=Ma+ma} \]
colocando a aceleração a em evidência do lado direito da igualdade e a aceleração da gravidade g do lado esquerdo
\[ g(M\operatorname{sen}\theta -m)=a(M+m) \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a=g\left(\frac{M\operatorname{sen}\theta -m}{M+m}\right)} \]

b) Substituindo o valor encontrado no item anterior na expressão (IX)
\[ \begin{gather} T_{A}-T_{B}-mg=mg\left(\frac{M\operatorname{sen}\theta-m}{M+m}\right)\\ T_{A}-T_{B}=mg\left(\frac{M\operatorname{sen}\theta-m}{M+m}\right)+mg \end{gather} \]
colocando o termo mg em evidência do lado direito da igualdade
\[ T_{A}-T_{B}=mg\left(\frac{M\operatorname{sen}\theta -m}{M+m}+1\right) \]
dentro dos parênteses o fator comum entre 1 e (M+m) será (M+m), colocando sobre o mesmo denominador
\[ \begin{gather} T_{A}-T_{B}=mg\left(\frac{M\operatorname{sen}\theta-m+M+m}{M+m}\right)\\ T_{A}-T_{B}=mg\left(\frac{M\operatorname{sen}\theta+M}{M+m}\right) \end{gather} \]
colocando o termo \( \frac{M}{M+m} \) em evidência
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{A}-T_{B}=\frac{Mmg}{M+m}\;\left(\operatorname{sen}\theta +1\right)} \]
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