Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um plano inclinado foi suspenso de modo que as massas m e M estão ligadas pelos dois lados pelas cordas 1 e 2, conforme figura. Desprezando as massas das cordas e os atritos nas polias e sendo dados o ângulo de inclinação do plano igual à θ e a aceleração da gravidade g, determine:
a) A aceleração do conjunto, sabendo que a massa M está descendo o plano;
b) A diferença entre as tensões T1 e T2.

Dados do problema:

  • Massa do bloco 1: M;
  • Massa do bloco 2: m;
  • Ângulo de inclinação do plano: θ;
  • Aceleração da gravidade: g.

Esquema do problema:

A aceleração do sistema está no sentido do bloco de massa M descendo o plano e a massa m subindo (Figura 1).

Figura 1

Solução:

Isolando os corpos e pesquisando as forças que atuam em cada um deles e aplicamos a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \tag{I} \end{gather} \]

Bloco 1:

  • \( {\vec P}_{\small M} \): força peso do bloco 1;
  • \( \vec N \): força normal de reação do plano sobre o bloco 1;
  • \( {\vec T}_1 \): força de tensão na corda 1;
  • \( {\vec T}_2 \): força de tensão na corda 2.

Adotamos um sistema de referência xy, com o eixo-x paralelo ao plano inclinado e sentido descendente (Figura 2-A). A força peso \( {\vec P}_{\small M} \) pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela ao eixo-x, \( {\vec P}_{\small P} \), e a outra componente normal ou perpendicular \( {\vec P}_{\small N} \). No triângulo à direita na Figura 2-B vemos que a força peso \( {\vec P}_{\small M} \) é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é igual à θ, como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, o ângulo α entre a força peso e a componente paralela deve ser

\[ \begin{gather} \alpha+\theta+90°=180°\Rightarrow\alpha=180°-\theta-90°\Rightarrow\alpha=90°-\theta \end{gather} \]

As componentes do peso nas direções x e y são perpendiculares entre si, no triângulo à esquerda temos que o ângulo entre a força peso \( {\vec P}_{\small M} \) e a componente do peso na direção y, \( {\vec P}_{\small N} \), é

\[ \begin{gather} 90°-\alpha\Rightarrow 90°-(90°-\theta)\Rightarrow 90°-90°+\theta\Rightarrow\theta \end{gather} \]
Figura 2

Desenhando os vetores em um sistema de eixos coordenados, na direção y a força peso \( {\vec P}_{\small M} \) e a força normal de reação \( \vec N \) se anulam, não há movimento nesta direção. Na direção x aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} P_{\small P}+T_2-T_1=Ma \tag{II} \end{gather} \]

O ângulo θ é medido com o eixo-y, ao contrário do que se faz usualmente quando é usado o ângulo com o eixo-x. A componente do peso na direção x é dada por (Figura 2-C)

\[ \begin{gather} P_{\small P}=P_{\small M}\operatorname{sen}\theta \tag{III} \end{gather} \]

a força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV) em (III) para a massa M

\[ \begin{gather} P_{\small P}=Mg\operatorname{sen}\theta \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a equação (V) na equação (II)

\[ \begin{gather} Mg\operatorname{sen}\theta+T_2-T_1=Ma \tag{VI} \end{gather} \]
Bloco 2:
  • \( {\vec P}_{\small M} \): força peso do bloco 2;
  • \( {\vec T}_1 \): força de tensão na corda 1;
  • \( {\vec T}_2 \): força de tensão na corda 2.
Figura 3

Adotamos o sentido positivo para cima, no mesmo sentido da aceleração do sistema. Na direção horizontal não há forças atuando no bloco. Na direção vertical aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} T_1-T_2-P_m=ma \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV) em (VII) para a massa m

\[ \begin{gather} P_m=mg \tag{VIII} \end{gather} \]

substituindo a equação (VIII) na equação (VII)

\[ \begin{gather} T_1-T_2-mg=ma \tag{IX} \end{gather} \]

a) Somando as equações (VI) e (IX) temos a aceleração do sistema

\[ \frac{\left. \begin{align} \;Mg\operatorname{sen}\theta+\cancel{T_2}-\cancel{T_1}=Ma \\ \;\cancel{T_1}-\cancel{T_2}-mg=ma \end{align} \right.} {Mg\operatorname{sen}\theta-mg=Ma+ma} \]

colocando a aceleração a em evidência do lado direito da igualdade e a aceleração da gravidade g do lado esquerdo

\[ \begin{gather} g(M\operatorname{sen}\theta-m)=a(M+m) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=g\left(\frac{M\operatorname{sen}\theta-m}{M+m}\right)} \end{gather} \]

b) Substituindo o valor encontrado no item anterior na equação (IX)

\[ \begin{gather} T_1-T_2-mg=mg\left(\frac{M\operatorname{sen}\theta-m}{M+m}\right) \\[5pt] T_1-T_2=mg\left(\frac{M\operatorname{sen}\theta-m}{M+m}\right)+mg \end{gather} \]

colocando o termo mg em evidência do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} T_1-T_2=mg\left(\frac{M\operatorname{sen}\theta-m}{M+m}+1\right) \end{gather} \]

dentro dos parênteses o fator comum entre 1 e (M+m) será (M+m), colocando sobre o mesmo denominador

\[ \begin{gather} T_1-T_2=mg\left(\frac{M\operatorname{sen}\theta-m+M+m}{M+m}\right) \\[5pt] T_1-T_2=mg\left(\frac{M\operatorname{sen}\theta+M}{M+m}\right) \end{gather} \]

colocando o termo \( \frac{M}{M+m} \) em evidência

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_1-T_2=\frac{Mmg}{M+m}\;\left(\operatorname{sen}\theta+1\right)} \end{gather} \]
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