Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um carrinho se desloca sobre uma superfície reta e horizontal. No carrinho há um plano inclinado, que
forma um ângulo θ com a horizontal, sobre o plano coloca-se um corpo, o coeficiente de atrito
entre o corpo e o plano é μ. Determinar a aceleração do carrinho para que o corpo esteja na iminência
de subir ao longo do plano. Adote g para a aceleração da gravidade.
Dados do problema:
- Ângulo de inclinação do plano: θ;
- Coeficiente de atrito entre o corpo e o plano: μ;
- Aceleração da gravidade: g.
Adotamos um sistema de referência xy com eixo-x paralelo ao plano inclinado e sentido da
descendente do plano.
Supõe-se o solo (Terra) sem aceleração, referencial inercial. O carrinho possui aceleração a em relação ao solo, referencial não-inercial. Para que o corpo permaneça em repouso sobre o carrinho ele deve ter, em relação ao solo, a mesma aceleração a do carrinho (Figura 1).
Supõe-se o solo (Terra) sem aceleração, referencial inercial. O carrinho possui aceleração a em relação ao solo, referencial não-inercial. Para que o corpo permaneça em repouso sobre o carrinho ele deve ter, em relação ao solo, a mesma aceleração a do carrinho (Figura 1).
Solução
Isolando o corpo e pesquisando as forças que atuam nele (Figura 2).
- \( \vec{P} \): força peso;
- \( \vec{N} \): força normal de reação da superfície sobre o bloco;
- \( {\vec F}_{at} \): força de atrito entre o plano e o bloco.
Como o corpo está na iminência de subir temos a força de atrito \( {\vec F}_{at} \) entre o plano e o corpo no sentido descendente do plano se opondo a este movimento.
A força peso \( \vec{P} \) pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela ao eixo-x, \( {\vec P}_{x} \), e a outra componente normal ou perpendicular \( {\vec P}_{y} \). No triângulo à direita na Figura 3-A vemos que a força peso \( \vec{P} \) é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90º, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é igual à θ, como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, o ângulo α entre a força peso e a componente paralela deve ser
\[ \alpha +\theta +90°=180°\Rightarrow \alpha=180°-\theta -90°\Rightarrow \alpha=90°-\theta \]
As componentes do peso nas direções x e y são perpendiculares entre si, no triângulo à
esquerda temos que o ângulo entre as forças peso
\( \vec{P} \)
e a componente do peso na direção y
\( {\vec P}_{y} \)
será
\[ 90°-\alpha \Rightarrow 90°-(90°-\theta)\Rightarrow 90°-90°+\theta \Rightarrow \theta \]
A aceleração do carrinho também deve ser decomposta nas direções x e y (Figura 3-B). O ângulo entre a aceleração \( \vec{a} \) e a componente da aceleração na direção do plano inclinado \( {\vec a}_{x} \) é θ, é o mesmo ângulo do plano inclinado, são ângulos alternos internos.
Desenhando as forças em um sistema de eixos coordenados xy (Figura 4) podemos obter suas
componentes.
As componentes da aceleração são dadas por
As componentes da aceleração são dadas por
\[
\begin{gather}
a_{x}=a\cos \theta \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a_{y}=a\,\operatorname{sen}\theta \tag{II}
\end{gather}
\]
as componentes da força peso são dadas por
\[
\begin{gather}
P_{x}=P\operatorname{sen}\theta \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_{y}=P\cos \theta \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec{F}=m\vec{a}} \tag{V}
\end{gather}
\]
Na direção x atuam a força de atrito e a componente da força peso na direção x, aplicando a
expressão (V)
\[
\begin{gather}
F_{at}+P_{x}=ma_{x} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (I) e (III) na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
F_{at}+P\operatorname{sen}\theta=m a\cos \theta \tag{VII}
\end{gather}
\]
a força de atrito é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{at}=\mu N} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
a força peso dado por é
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VIII) e (IX) na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
\mu N+mg\operatorname{sen}\theta =ma\cos \theta \\[5pt]
\mu N=ma\cos \theta -mg\operatorname{sen}\theta \tag{X}
\end{gather}
\]
Na direção y atuam a reação normal e a componente da força peso na direção y, aplicando a
expressão (V)
\[
\begin{gather}
N-P_{y}=ma_{y} \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II) e (IV) na expressão (XI)
\[
\begin{gather}
N-P\cos \theta=ma\,\operatorname{sen}\theta \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IX) na expressão (XII)
\[
\begin{gather}
N-mg\cos \theta =ma\operatorname{sen}\theta\\[5pt]
N=ma\operatorname{sen}\theta +mg\cos \theta \tag{XIII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (XIII) na expressão (X)
\[
\begin{gather}
\mu (ma\operatorname{sen}\theta +mg\cos \theta )=ma\cos \theta -mg\operatorname{sen}\theta \\[5pt]
\mu \cancel{m}a\operatorname{sen}\theta +\mu \cancel{m}g\cos \theta =\cancel{m}a\cos\theta -\cancel{m}g\operatorname{sen}\theta\\[5pt]
g\operatorname{sen}\theta +\mu a\operatorname{sen}\theta +\mu g\cos \theta =a\cos \theta\\[5pt]
g\operatorname{sen}\theta +\mu g\cos \theta =a\cos \theta -\mu a\operatorname{sen}\theta\\[5pt]
g(\operatorname{sen}\theta +\mu \cos \theta )=a(\cos \theta -\mu\operatorname{sen}\theta )
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=g\left(\;\frac{\operatorname{sen}\theta +\mu \cos \theta }{\cos \theta -\mu \operatorname{sen}\theta }\;\right)}
\end{gather}
\]
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