Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um carrinho se desloca sobre uma superfície reta e horizontal. No carrinho há um plano inclinado, que forma um ângulo θ com a horizontal, sobre o plano coloca-se um corpo, o coeficiente de atrito entre o corpo e o plano é μ. Determinar a aceleração do carrinho para que o corpo esteja na iminência de subir ao longo do plano. Adote g para a aceleração da gravidade.

Dados do problema:

  • Ângulo de inclinação do plano: θ;
  • Coeficiente de atrito entre o corpo e o plano: μ;
  • Aceleração da gravidade: g.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência xy com eixo-x paralelo ao plano horizontal e com o mesmo sentido da aceleração do carrinho.
Supõe-se o solo (Terra) sem aceleração, referencial inercial. O carrinho possui aceleração a em relação ao solo, referencial não-inercial. Para que o corpo permaneça em repouso sobre o carrinho ele deve ter, em relação ao solo, a mesma aceleração a do carrinho (Figura 1).
Figura 1

Solução:

Isolando o corpo obtemos as forças que atuam nele (Figura 2).
  • \( \vec P \): força peso;
  • \( \vec N \): força normal de reação da superfície sobre o bloco;
  • \( {\vec F}_{at} \): força de atrito entre o plano e o bloco.
Figura 2

Como o corpo está na iminência de subir temos a força de atrito \( {\vec F}_{at} \) entre o plano e o corpo no sentido descendente do plano se opondo a este movimento.
A força de atrito \( {\vec F}_{at} \) e a força normal de reação \( \vec N \) podem ser decompostas em duas componentes, uma componente paralela ao eixo-x \( {\vec F}_{atx} \) e \( {\vec N}_x \) e a outra componente normal ou perpendicular \( {\vec F}_{aty} \) e \( {\vec N}_y \).
O ângulo do plano inclinado é dado igual à θ, na Figura 3-A vemos que o ângulo entre a direção x e o plano inclinado também é θ, são ângulos alternos internos.
A força normal de reação é perpendicular ao plano inclinado, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre a direção x e a normal é \( \alpha=90°-\theta \) (Figura 3-B).

Figura 3
Como as direções x e y são perpendiculares entre si o ângulo entre a reação normal e a direção y é (Figura 3-C)
\[ 90°-\alpha=90°-(90°-\theta)=90°-90°+\theta=\theta \]
O ângulo entre a força de atrito e a componente da força de atrito na direção x, \( {\vec F}_{atx} \), é θ, é o mesmo ângulo do plano inclinado, são ângulos alternos internos (Figura 4).
Figura 4
Desenhamos as forças em um sistema de eixos coordenados xy (Figura 5).
Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \tag{I} \end{gather} \]
Na direção y não há movimento, a força peso \( \vec P \), a componente da força normal da reação \( {\vec N}_y \) e a componente da força de atrito na direção y \( {\vec F}_{aty} \) se cancelam
\[ \begin{gather} N_y=P+F_{aty} \tag{II} \end{gather} \]
a componente da reação normal na direção y é dada por
\[ \begin{gather} N_y=N\cos\theta \tag{III} \end{gather} \]
Figura 5

a componente da força de atrito na direção y dada por

\[ \begin{gather} F_{aty}=F_{at}\operatorname{sen}\theta \tag{IV} \end{gather} \]

a força de atrito é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{at}=\mu N} \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a equação (V) na exoressão (IV)

\[ \begin{gather} F_{aty}=\mu N\operatorname{sen}\theta \tag{VI} \end{gather} \]

a força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo as equações (III), (VI) e (VII) na equação (II)

\[ \begin{gather} N\cos\theta=mg+\mu N\operatorname{sen}\theta \\[5pt] N\cos\theta-\mu N\operatorname{sen}\theta=mg \tag{VIII} \end{gather} \]

Na direção x temos a componente da força normal de reação e a componente da força de atrito, aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} N_x+F_{atx}=ma \tag{IX} \end{gather} \]

a componente da reação normal na direção x é dada por

\[ \begin{gather} N_x=N\operatorname{sen}\theta \tag{X} \end{gather} \]

a componente da força de atrito na direção x é dada por

\[ \begin{gather} F_{atx}=F_{at}\cos\theta \tag{XI} \end{gather} \]

substituindo a equação (V) na equação (XI)

\[ \begin{gather} F_{atx}=\mu N\cos\theta \tag{XII} \end{gather} \]

substituindo as equações (X) e (XII) na equação (IX)

\[ \begin{gather} N\operatorname{sen}\theta+\mu N\cos\theta=ma \tag{XIII} \end{gather} \]

Dividindo a equação (XIII) pela equação (VII)

\[ \begin{gather} \frac{N\operatorname{sen}\theta+\mu N\cos\theta}{N\cos\theta-\mu N\operatorname{sen}\theta}=\frac{ma}{mg} \\[5pt] \frac{\cancel N(\operatorname{sen}\theta+\mu \cos\theta)}{\cancel N(\cos\theta-\mu\operatorname{sen}\theta)}=\frac{\cancel ma}{\cancel mg} \\[5pt] \frac{(\operatorname{sen}\theta+\mu \cos\theta)}{(\cos\theta-\mu \operatorname{sen}\theta)}=\frac{a}{g} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=g\left(\frac{\operatorname{sen}\theta+\mu \cos\theta}{\cos\theta-\mu\operatorname{sen}\theta}\right)} \end{gather} \]
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