Exercício Resolvido de Dinâmica
Português
English
publicidade
Um carrinho se desloca sobre uma superfície reta e horizontal. No carrinho há um plano inclinado, que
forma um ângulo θ com a horizontal, sobre o plano coloca-se um corpo. Determinar a aceleração do
carrinho para que o corpo permaneça em repouso sobre o plano inclinado. Despreze o atrito entre o corpo
e o plano inclinado e adote g para a aceleração da gravidade.
Dados do problema:
- Ângulo de inclinação do plano: θ;
- Aceleração da gravidade: g.
Adotamos um sistema de referência xy com eixo-x paralelo ao plano horizontal e com o mesmo
sentido da aceleração do carrinho.
Supõe-se o solo (Terra) sem aceleração, referencial inercial. O carrinho possui aceleração a em relação ao solo, referencial não-inercial. Para que o corpo permaneça em repouso sobre o carrinho ele deve ter, em relação ao solo, a mesma aceleração a do carrinho (Figura 1).
Supõe-se o solo (Terra) sem aceleração, referencial inercial. O carrinho possui aceleração a em relação ao solo, referencial não-inercial. Para que o corpo permaneça em repouso sobre o carrinho ele deve ter, em relação ao solo, a mesma aceleração a do carrinho (Figura 1).
Solução
Isolando o corpo obtemos as forças que atuam nele (Figura 2).
- \( \vec{P} \): força peso;
- \( \vec{N} \): força normal de reação da superfície sobre o bloco.
A força normal de reação \( \vec{N} \) do plano inclinado pode ser decomposta em duas componentes, uma componente na direção do eixo-x, \( {\vec N}_{x} \), e a outra na direção do eixo-y, \( {\vec N}_{y} \), do referencial.
O ângulo do plano inclinado é dado igual à θ, na Figura 3-A vemos que o ângulo entre a direção x e o plano inclinado também é θ, são ângulos alternos internos.
A força normal de reação é perpendicular ao plano inclinado, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre a direção x e a força normal é \( \alpha =90°-\theta \) (Figura 3-B). Como as direções x e y são perpendiculares entre si, o ângulo entre a reação normal e a direção y é (Figura 3-C)
\[ 90°-\alpha=90°-(90°-\theta )=90°-90°+\theta=\theta \]
Desenhando as forças em um sistema de eixos coordenados xy (Figura 4).
Aplicando a 2.ª Lei de Newton
Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Na direção y não há movimento, a força peso
\( \vec{P} \)
e a componente da força normal de reação na direção y,
\( {\vec N}_{y} \)
se cancelam
\[
\begin{gather}
N_{y}=P \tag{II}
\end{gather}
\]
a componente da reação normal na direção y é dada por
\[
\begin{gather}
N_{y}=N\cos \theta \tag{III}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (III) e (IV) em (II)
\[
\begin{gather}
N\cos \theta =mg \tag{V}
\end{gather}
\]
Na direção x temos a componente da força de reação normal resultante nessa
direção, aplicando a expressão (I)
\[
\begin{gather}
N_{x}=ma \tag{VI}
\end{gather}
\]
a componente da reação normal na direção x é dada por
\[
\begin{gather}
N_{x}=N\operatorname{sen}\theta \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
N\operatorname{sen}\theta =ma \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Dividindo a expressão (VII) pela expressão (V)
\[
\begin{gather}
\frac{\cancel{N}\operatorname{sen}\theta }{\cancel{N}\cos \theta }=\frac{\cancel{m}a}{\cancel{m}g}
\end{gather}
\]
Lembrando da Trigonometria
\( \operatorname{tg}\theta =\frac{\operatorname{sen}\theta }{\cos \theta} \)
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}\theta =\frac{a}{g}
\end{gather}
\]
A aceleração será dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=g\;\operatorname{tg}\theta}
\end{gather}
\]
publicidade
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .