Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um carrinho se desloca sobre uma superfície reta e horizontal. No carrinho há um plano inclinado, que forma um ângulo θ com a horizontal, sobre o plano coloca-se um corpo. Determinar a aceleração do carrinho para que o corpo permaneça em repouso sobre o plano inclinado. Despreze o atrito entre o corpo e o plano inclinado e adote g para a aceleração da gravidade.

Dados do problema:

  • Ângulo de inclinação do plano: θ;
  • Aceleração da gravidade: g.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência xy com eixo-x paralelo ao plano horizontal e com o mesmo sentido da aceleração do carrinho.
Supõe-se o solo (Terra) sem aceleração, referencial inercial. O carrinho possui aceleração a em relação ao solo, referencial não-inercial. Para que o corpo permaneça em repouso sobre o carrinho ele deve ter, em relação ao solo, a mesma aceleração a do carrinho (Figura 1).
Figura 1

Solução:

Isolando o corpo obtemos as forças que atuam nele (Figura 2).
  • \( \vec P \): força peso;
  • \( \vec N \): força normal de reação da superfície sobre o bloco.
Figura 2

A força normal de reação \( \vec N \) do plano inclinado pode ser decomposta em duas componentes, uma componente na direção do eixo-x, \( {\vec N}_x \), e a outra na direção do eixo-y, \( {\vec N}_y \), do referencial.
O ângulo do plano inclinado é dado igual à θ, na Figura 3-A vemos que o ângulo entre a direção x e o plano inclinado também é θ, são ângulos alternos internos.

Figura 3

A força normal de reação é perpendicular ao plano inclinado, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre a direção x e a força normal é \( \alpha=90°-\theta \) (Figura 3-B). Como as direções x e y são perpendiculares entre si, o ângulo entre a reação normal e a direção y é (Figura 3-C)

\[ \begin{gather} 90°-\alpha=90°-(90°-\theta )=90°-90°+\theta=\theta \end{gather} \]
Desenhando as forças em um sistema de eixos coordenados xy (Figura 4).
Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \tag{I} \end{gather} \]
Na direção y não há movimento, a força peso \( \vec P \) e a componente da força normal de reação na direção y, \( {\vec N}_y \) se cancelam
\[ \begin{gather} N_y=P \tag{II} \end{gather} \]
a componente da reação normal na direção y é dada por
\[ \begin{gather} N_y=N\cos\theta \tag{III} \end{gather} \]
Figura 4

a força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo as equações (III) e (IV) em (II)

\[ \begin{gather} N\cos\theta=mg \tag{V} \end{gather} \]

Na direção x temos a componente da força de reação normal resultante nessa direção, aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} N_x=ma \tag{VI} \end{gather} \]

a componente da reação normal na direção x é dada por

\[ \begin{gather} N_x=N\operatorname{sen}\theta \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo a equação (VII) na equação (VI)

\[ \begin{gather} N\operatorname{sen}\theta=ma \tag{VIII} \end{gather} \]

Dividindo a equação (VII) pela equação (V)

\[ \begin{gather} \frac{\cancel N\operatorname{sen}\theta}{\cancel N\cos\theta}=\frac{\cancel ma}{\cancel mg} \end{gather} \]
Da Trigonometria \( \operatorname{tg}\theta=\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta} \)
\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\theta=\frac{a}{g} \end{gather} \]

A aceleração será dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=g\;\operatorname{tg}\theta} \end{gather} \]
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