Três corpos 1, 2, e 3 estão suspensos por cordas ideais, como representado na
figura. O corpo 2 está suspenso simultaneamente por duas cordas, uma ligada ao corpo 1 e
outra ao corpo 3. Determinar:
a) A aceleração e o sentido do movimento, se todas as massas são iguais a m;
b) A aceleração e o sentido do movimento, se as massas 1 e 3 são iguais a m e a
massa 2 igual a 3m;
c) Se as massas 1 e 3 são iguais a m, qual deve ser o valor da massa 2 para
que o movimento se dê para cima com aceleração igual a 0,5g?
Esquema do problema:
Escolhemos, aleatoriamente, um sentido para a aceleração, positiva para os corpos 1 e 3
descendo e para o corpo 2 subindo. Isolamos os corpos e pesquisamos as forças que atuam em cada
um deles aplicamos a
2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a} \tag{I}
\end{gather}
\]
Solução:
Corpo 1:
- \( {\vec P}_1 \): força peso do corpo 1;
- \( \vec T \): força de tensão na corda.
Na direção vertical temos a aceleração na direção da força peso do corpo 1, esta será positiva, a
tensão está na direção oposta e será negativa, aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
P_1-T=m_1a \tag{II}
\end{gather}
\]
Corpo 2:
- \( {\vec P}_2 \): força peso do corpo 2;
- \( \vec T \): força de tensão na corda.
Neste corpo a aceleração está na mesma direção das tensões, estas serão positivas, e a força peso do corpo
2 está na direção oposta e será negativa, aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
T+T-P_2=m_2a \\[5pt]
2T-P_2=m_2a \tag{III}
\end{gather}
\]
Observação: Não é necessário analisar o corpo 3, pois este, por simetria, tem o
mesmo comportamento do corpo 1.
As equações (II) e (III) formam um sistema de duas equações
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{matrix}
P_1-T=m_1a \\
2T-P_2=m_2a
\end{matrix}
\right. \tag{IV}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
os pesos dos corpos 1 e 2 são dados por
\[
\begin{gather}
P_1=m_1g \tag{V-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_2=m_2g \tag{V-b}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (V-a) e (V-b) no sistema (IV)
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{matrix}
\;m_1g-T=m_1a \\
\;2T-m_2g=m_2a
\end{matrix}
\right. \tag{VI}
\end{gather}
\]
a) Substituindo m1=m2=m no sistema (VI)
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{matrix}
mg-T=ma \\
2T-mg=ma
\end{matrix}
\right.
\end{gather}
\]
isolando o valor de T na primeira equação e substituindo na segunda
\[
\begin{gather}
T=mg-ma \\[5pt]
2(mg-ma)-mg=ma \\[5pt]
2mg-2ma-mg=ma \\[5pt]
mg=ma+2ma \\[5pt]
\cancel mg=3\cancel ma \\[5pt]
3a=g
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=\frac{g}{3}}
\end{gather}
\]
Sentido: o corpo 2 sobe e os corpos 1 e 3 descem.
b) Substituindo m1=m e m2=3m no sistema (VI)
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
mg-T=ma \\
2T-3mg=3ma
\end{array}
\right.
\end{gather}
\]
isolando o valor de T na primeira equação e substituindo na segunda
\[
\begin{gather}
T=mg-ma \\[5pt]
2(mg-ma)-3mg=3ma \\[5pt]
2mg-2ma-3mg=3ma \\[5pt]
-mg=3ma+2ma \\[5pt]
-\cancel mg=5\cancel ma \\[5pt]
5a=-g \\[5pt]
a=-{\frac{g}{5}}
\end{gather}
\]
O sinal negativo na aceleração indica que o movimento se dará no sentido contrário ao escolhido na Figura 1,
a aceleração será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=\frac{g}{5}}
\end{gather}
\]
Sentido: o corpo 2 desce e os corpos 1 e 3 sobem.
c) Temos m1=m e queremos determinar m2 quando
a=0,5g, substituindo estes valores no sistema (VI)
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{matrix}
mg-T=m0,5g \\
2T-m_2g=m_20,5g
\end{matrix}
\right. \\[5pt]
\left\{
\begin{matrix}
mg-T=0,5mg \\
2T-m_2g=0,5m_2g
\end{matrix}
\right.
\end{gather}
\]
isolando o valor de T na primeira equação e substituindo na segunda
\[
\begin{gather}
T=mg-0,5mg \\[5pt]
T=0,5mg \\[5pt]
2\times(0,5mg)-m_2g=0,5m_2g \\[5pt]
mg=0,5m_2g+m_2g \\[5pt]
m\cancel g=1,5m_2\cancel g \\[5pt]
m=\frac{3}{2}m_2 \\[5pt]
m_2=\frac{m}{\dfrac{3}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{m_2=\frac{2}{3}m}
\end{gather}
\]
EN
