Exercício Resolvido de Dinâmica
publicidade

Um cilindro possui o eixo principal vertical e raio R, girando no interior do cilindro, num plano horizontal, há uma pequena esfera. Sabendo-se que o coeficiente de atrito entre a esfera e a parede do cilindro é μ e a aceleração local da gravidade é g, calcule a menor velocidade tangencial da partícula para que ela faça a curva sem cair.

Dados do problema:

  • Raio do cilindro: R;
  • Coeficiente de atrito: μ;
  • Aceleração da gravidade: g.

Esquema do problema:

Figura 1

As forças que atuam na esfera são a força peso \( \vec P \), apontando para baixo, a força de atrito entre a esfera e a parede do cilindro \( {\vec F}_{at} \) que impede que a esfera caia se opondo a força peso, a força normal de reação \( \vec N \) da parede do cilindro sobre a esfera.

Solução:

Aplicando a 2.ª Lei de Newton para o movimento circular

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{cp}=m{\vec a}_{cp}} \tag{I} \end{gather} \]

Na direção horizontal a força centrípeta resultante Fcp é dada pela força normal de reação N

\[ \begin{gather} F_{cp}=N \tag{II} \end{gather} \]

a aceleração centrípeta é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^2}{R}} \tag{III} \end{gather} \]

substituindo as equações (II) e (III) na equação (I)

\[ \begin{gather} N=m\frac{v^2}{R} \tag{IV} \end{gather} \]

Na direção vertical não há movimento, a força peso \( \vec P \) e a força de atrito \( {\vec F}_{at} \) se anulam

\[ \begin{gather} P=F_{at} \tag{V} \end{gather} \]

a força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{VI} \end{gather} \]

a força de atrito é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{at}=\mu N} \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo as equações (VI) e (VII) na equação (V)

\[ \begin{gather} mg=\mu N \\[5pt] N=\frac{mg}{\mu} \tag{VIII} \end{gather} \]

substituindo a equação (VIII) na equação (IV)

\[ \begin{gather} \frac{\cancel mg}{\mu}=\cancel m\frac{v^2}{R} \\[5pt] \frac{v^2}{R}=\frac{g}{\mu} \\[5pt] v^2=\frac{Rg}{\mu} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{min}=\sqrt{\frac{Rg}{\mu}\;}} \end{gather} \]
publicidade