Um prego de massa 5 g é pregado em uma parede utilizando-se um martelo de massa 495 g. A velocidade do
martelo imediatamente antes de atingir o prego é 4 m/s e o choque é perfeitamente inelástico.
Determinar:
a) A velocidade do sistema prego-martelo imediatamente após o choque;
b) A energia dissipada no choque;
c) Admitindo-se que o prego penetra na parede 0,5 cm a cada golpe, calcular a intensidade da força, suposta
constante, oposta pela parede à penetração.
Dados do problema:
- Massa do prego: m = 5 g;
- Massa do martelo: M = 495 g;
- Velocidade do martelo: vM = 4 m/s.
Esquema do problema:
Podemos substituir o martelo e o prego por duas esferas com as mesmas massas do martelo e do prego, o
sistema martelo-prego será equivalente a um choque perfeitamente inelástico entre estas esferas (Figura 1).
Solução:
Em primeiro lugar devemos converter as massas do prego e do martelo, dadas em gramas (g), para quilogramas
(kg) e o deslocamento do prego, dado em centímetros, para metros usados no
Sistema Internacional de Unidades (S.I.).
\[
\begin{gather}
m=5\;\mathrm{\cancel g}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1 000\;\mathrm{\cancel g}}=0,005\;\mathrm{kg} \\[10pt]
M=495\;\mathrm{\cancel g}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1 000\;\mathrm{\cancel g}}=0,495\;\mathrm{kg} \\[10pt]
\Delta S=0,5\;\mathrm{\cancel{cm}}\times\frac{1\;\mathrm m}{100\;\mathrm{\cancel{cm}}}=0,005\;\mathrm m
\end{gather}
\]
a) A quantidade de movimento é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec Q=m\vec v}
\end{gather}
\]
Para encontrarmos a velocidade do sistema após o choque aplicamos o
Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento (Figura 1), igualando a quantidade
de movimento inicial e final
\[
\begin{gather}
Q_{i}=Q_{f} \\[5pt]
Mv_{\small M}+mv_{p}=(M+m)V \\[5pt]
Mv_{\small M}+m.0=(M+m)V \\[5pt]
Mv_{\small M}=(M+m)V \\[5pt]
Mv_{\small M}=(M+m)V \\[5pt]
V=\frac{M}{(M+m)}v_{\small M} \\[5pt]
V=\frac{\left(0,495\;\mathrm{kg}\right)}{\left(0,495\;\mathrm{kg}+0,005\;\mathrm{kg}\right)}\times\left(4\;\mathrm{m/s}\right) \\[5pt]
V=\frac{\left(0,495\;\mathrm{\cancel{kg}}\right)}{\left(0,5\;\mathrm{\cancel{kg}}\right)}\times\left(4\;\mathrm{m/s}\right) \\[5pt]
V=\frac{1,98\;\mathrm{m/s}}{0,5}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{V=3,96\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
b) A energia inicial do sistema não se conserva, durante o choque há a dissipação de parte da energia,
depois do choque devemos somar à energia mecânica do sistema a energia dissipada. Adotamos um
Nível de Referência (N.R.) na linha do movimento (Figura 2). Não há diferença de altura
durante o choque, então, não há energia potencial envolvida, apenas a energia cinética e a energia
dissipada contribuem para a energia do sistema.
Antes do choque o martelo possui energia cinética,
\( _{i}E_{c\small M} \),
e a energia cinética do prego,
\( _{i}E_{cp} \),
é nula, no momento do choque parte da energia mecânica é dissipada,
\( E_{\small D} \),
e depois do choque o sistema martelo-prego possui energia cinética,
\( _{f}E_c \).
A energia cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_c=\frac{m v^2}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_{\small M i}=E_{\small M f}+E_{\small D} \\[5pt]
_{i}E_{c \small M}+_{i}E_{cp}=_{f}E_c+E_{\small D} \\[5pt]
\frac{Mv_{\small M}^2}{2}+\frac{mv_{p}^2}{2}=\frac{(M+m)V^2}{2}+E_{\small D} \\[5pt]
\frac{Mv_{\small M}^2}{2}+\frac{m\times 0^2}{2}=\frac{(M+m)V^2}{2}+E_{\small D} \\[5pt]
\frac{Mv_{\small M}^2}{2}=\frac{(M+m)V^2}{2}+E_{\small D} \\[5pt]
E_{\small D}=\frac{Mv_{\small M}^2}{2}-\frac{(M+m)V^2}{2} \\[5pt]
E_{\small D}=\frac{\left(0,495\;\mathrm{kg}\right)\times\left(4\;\mathrm{m/s}\right)^2}{2}-\frac{\left(0,495\;\mathrm{kg}+0,005\;\mathrm{kg}\right)\times\left(3,96\;\mathrm{m/s}\right)^2}{2} \\[5pt]
E_{\small D}=\frac{\left(0,495\;\mathrm{kg}\right)\times\left(16\;\mathrm{m^2/s^2}\right)}{2}-\frac{\left(0,5\;\mathrm{kg}\right)\times\left(15,68\;\mathrm{m^2/s^2}\right)}{2} \\[5pt]
E_{\small D}=\frac{\left(7,92\;\mathrm{kg.m^2/s^2}\right)}{2}-\frac{\left(7,84\;\mathrm{kg.m^2/s^2}\right)}{2} \\[5pt]
E_{\small D}=\left(3,96\;\frac{\mathrm{kg.m^2}}{\mathrm{s^2}}\right)-\left(3,92\;\frac{\mathrm{kg.m^2}}{\mathrm{s^2}}\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{\small D}=0,04\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
c) A força que a parede faz contra o sistema martelo-prego é encontrada aplicando-se a
2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Pela
3.ª Lei de Newton -
Lei da Ação e Reação - a força que a parede faz no sistema
martelo-prego é igual à força que o sistema faz na parede. O sistema tem uma velocidade inicial
V0, e desacelera até parar quando o prego entra na parede, sendo necessária nova
martelada (Figura 3). Então devemos encontrar a aceleração que o sistema sofre quando o prego entra na
parede, para isso aplicamos a
Equação de Torricelli
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v^2=v_{0}^2+2a\Delta S}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v^2=v_{0}^2+2a\Delta S \\[5pt]
a=\frac{v^2-v_{0}^2}{2\Delta S} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (II) na equação (I) para a massa total do sistema (M+m)
\[
\begin{gather}
F=(M+m)\left(\frac{v^2-v_{0}^2}{2\Delta S}\right)
\end{gather}
\]
substituindo os dados e usando a velocidade inicial encontrada no item (a),
v0 = V, quando o martelo acerta o prego, e v = 0, quando o prego para
\[
\begin{gather}
F=(0,495\;\mathrm{kg}+0,005\;\mathrm{kg})\times\left[\frac{\left(0\;\mathrm{m/s}\right)^2-\left(3,96\;\mathrm{m/s}\right)^2}{2\times 0,005\;\mathrm{m}}\right] \\[5pt]
F=(0,5\;\mathrm{kg})\times\left[\frac{-15,68\;\mathrm{m^{\cancel 2}/s^2}}{0,01\;\mathrm{\cancel m}}\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F=-784\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
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