Exercício Resolvido de Choques

Calcular a perda de energia que ocorre no choque central inelástico entre duas esferas de massas m₁ e m₂ que se movem no mesmo sentido com velocidades v₁ e v₂.

Dados do problema:

Massa da esfera 1: m₁;
Massa da esfera 2: m₂;
Velocidade da esfera 1: v₁;
Velocidade da esfera 2: v₂.

Esquema do problema:

Figura 1

Solução

Para ocorrer o choque devemos supor v₁ > v₂, como o choque é inelástico as duas esferas permanecem juntas após o choque, a quantidade de movimento se conserva e a energia cinética do sistema depois do choque é menor que a energia cinética antes do choque.
A quantidade de movimento é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mv} \end{gather} \]

A energia cinética é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{C}=\frac{mv^{2}}{2}} \end{gather} \]

Escrevendo as equações para as esferas 1 e 2 nas situações antes e depois do choque

Antes do choque:

\[ \begin{gather} Q_{1}=m_{1}v_{1} \tag{I} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} Q_{2}=m_{2}v_{2} \tag{II} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} E_{C1}^{i}=\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} \tag{III} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} E_{C2}^{i}=\frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} \tag{IV} \end{gather} \]

Depois do choque:

\[ \begin{gather} Q=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2} \tag{V} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} E_{C}^{f}=\frac{m_{1}v^{2}}{2}+\frac{m_{2}v^{2}}{2} \tag{VI} \end{gather} \]

onde \( E_{C1}^{i} \) e \( E_{C2}^{i} \) são as energias cinéticas iniciais das esferas 1 e 2, \( E_{C}^{f} \) é a energia cinética final do conjunto, Q e v são a quantidade de movimento e a velocidade do conjunto após o choque.
A energia dissipada ΔE será a diferença entre a energia final e a energia inicial das esferas

\[ \begin{gather} \Delta E=E_{C}^{f}-\left(E_{C1}^{i}+E_{C2}^{i}\right) \end{gather} \]

substituindo as equações (VI), (III) e (IV) nesta equação

\[ \begin{gather} \Delta E=\frac{m_{1}v^{2}}{2}+\frac{m_{2}v^{2}}{2}-\left(\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}+\frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}\right)\\[5pt] \Delta E=\frac{v^{2}}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)-\left(\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}+\frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}\right) \tag{VII} \end{gather} \]

Para obter v usamos o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento utilizando as expressões (I) e (II) antes do choque e a expressão (VI) depois do choque

\[ \begin{gather} Q^{i}=Q^{f}\\[5pt] m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v+m_{2}v\\[5pt] m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=v(m_{1}+m_{2})\\[5pt] v=\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}} \tag{VIII} \end{gather} \]

substituindo a equação (VIII) na equação (VII)

\[ \begin{gather} \Delta E=\frac{1}{2}\left(\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)-\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}-\frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}\\[5pt] \Delta E=\frac{1}{2}\frac{\left(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\right)^{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{\cancel{2}}}\cancel{\left(m_{1}+m_{2}\right)}-\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}-\frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}\\[5pt] \Delta E=\frac{\left(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\right)^{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}-\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}-\frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} \end{gather} \]

No primeiro termo do lado direito da igualdade o denominador é um Produto Notável do tipo \( \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2 ab+b^{2} \)

\[ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2 ab+b^{2} \]

colocando os três termos da direita sobre o denominador 2(m₁+m₂), e expandindo o Produto Notável

\[ \begin{gather} \Delta E=\frac{m_{1}^{2}v_{1}^{2}+2m_{1}v_{1}m_{2}v_{2}+m_{2}^{2}v_{2}^{2}-m_{1}v_{1}^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)-m_{2}v_{2}^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}\\[5pt] \Delta E=\frac{m_{1}^{2}v_{1}^{2}+2m_{1}v_{1}m_{2}v_{2}+m_{2}^{2}v_{2}^{2}-m_{1}^{2}v_{1}^{2}-m_{1}m_{2}v_{1}^{2}-m_{1}m_{2}v_{2}^{2}-m_{2}^{2}v_{2}^{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}\\[5pt] \Delta E=\frac{2m_{1}v_{1}m_{2}v_{2}-m_{1}m_{2}v_{1}^{2}-m_{1}m_{2}v_{2}^{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}\\[5pt] \Delta E=\frac{-m_{1}m_{2}\left(v_{1}^{2}-2v_{1}v_{2}+v_{2}^{2}\right)}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)} \end{gather} \]

O termo entre parênteses no numerador é um Produto Notável do tipo \( \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2 ab+b^{2} \)

\[ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2 ab+b^{2} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta E=\frac{-m_{1}m_{2}\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}} \end{gather} \]

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