No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos e seus verdadeiros sentidos
Dados do problema:
Resistores:
- R1 = 2 Ω;
- R2 = 3 Ω;
- R3 = 2 Ω;
- R4 = 2 Ω;
- R5 = 3 Ω;
- R6 = 2 Ω;
- R7 = 3 Ω;
- R8 = 2 Ω;
f.e.m. das pilhas:
- E1 = 5 V;
- E2 = 5 V;
- E3 = 4 V;
Solução:
Em primeiro lugar a cada malha do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. Nas malhas
ABGHA, BCFGB e CDEFC temos, respectivamente, as correntes i1,
i2 e i3 no sentido horário (Figura 1)
Aplicando a Lei das Malhas à malha i1 a partir do ponto A no sentindo
escolhido, esquecendo as malhas i2 e i3 (Figura 2)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum_n V_n=0}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
R_2i_1+R_3(i_1-i_2)+R_1i_1-E_1=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores do problema
\[
\begin{gather}
3 i_1+2(i_1-i_2)+2 i_1-5=0 \\[5pt]
3 i_1+2 i_1-2 i_2+2 i_1=5 \\[5pt]
7 i_1-2 i_2=5 \tag{I}
\end{gather}
\]
Aplicando a Lei das Malhas à malha i2 a partir do ponto B no sentindo
escolhido, esquecendo as malhas i1 e i3 (Figura 2)
\[
\begin{gather}
R_4i_2-E_2+R_6(i_2-i_3)+R_5i_2+R_3(i_2-i_1)=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores
\[
\begin{gather}
2 i_2-5+2(i_2-i_3)+3 i_2+2(i_2-i_1)=0 \\[5pt]
2 i_2+2 i_2-2 i_3+3 i_2+2 i_2-2 i_1=5 \\[5pt]
-2 i_1+9 i_2-2 i_3=5 \tag{II}
\end{gather}
\]
Aplicando a Lei das Malhas à malha i3 a partir do ponto C no sentindo
escolhido, esquecendo as malhas i1 e i2 (Figura 2)
\[
\begin{gather}
R_8i_3-E_3+R_7i_3+R_6(i_3-i_2)+E_2=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores
\[
\begin{gather}
2 i_3-4+3 i_3+2(i_3-i_2)+5=0 \\[5pt]
2 i_3+3 i_3+2 i_3-2 i_2+1=0 \\[5pt]
-2 i_2+7 i_3=-1 \tag{III}
\end{gather}
\]
Com as equações (I), (II) e (III) temos um sistema de três equações a três incógnitas
(i1, i2 e i3).
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
\;\:\,7 i_1-2 i_2=5 \\
-2 i_1+9 i_2-2 i_3=5 \\
-2 i_2+7 i_3=-1
\end{array}
\right. \tag{IV}
\end{gather}
\]
isolando o valor da corrente i1 na primeira equação e a corrente i3 na
terceira equação
\[
\begin{gather}
7 i_1-2 i_2=5 \\[5pt]
7 i_1=5+2 i_2 \\[5pt]
i_1=\frac{5+2 i_2}{7} \tag{V-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
-2 i_2+7 i_3=-1 \\[5pt]
7 i_3=-1-2 i_2 \\[5pt]
i_3=\frac{-1+2 i_2}{7} \tag{V-b}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (V-a) e (V-b) na segunda equação do sistema (IV)
\[
\begin{gather}
-2\times\left(\frac{5+2 i_2}{7}\right)+9 i_2-2\times\left(\frac{-1+2 i_2}{7}\right)=5 \\[5pt]
\frac{-10-4 i_2}{7}+9 i_2+\frac{2-4 i_2}{7}=5
\end{gather}
\]
multiplicando por 7 o numerador e o denominador do segundo termo do lado esquerdo da igualdade, e o termo
do lado direito
\[
\begin{gather}
\frac{-10-4 i_2}{7}+\frac{7}{7}\times 9 i_2+\frac{2-4 i_2}{7}=5\times\frac{7}{7} \\[5pt]
\frac{-10-4 i_2}{7}+\frac{63}{7}i_2+\frac{2-4 i_2}{7}=\frac{35}{7} \\[5pt]
\frac{-10-4 i_2+63 i_2+2-4 i_2}{\cancel{7}}=\frac{35}{\cancel{7}}
\end{gather}
\]
simplificando o fator 7 de ambos os lados da igualdade
\[
\begin{gather}
-10-4 i_2+63 i_2+2-4 i_2=35 \\[5pt]
-8+55 i_2=35 \\[5pt]
55 i_2=35+8 \\[5pt]
i_2=\frac{43}{55} \\[5pt]
i_2=0,78\;\mathrm A
\end{gather}
\]
Substituindo este valor nas expressões dadas em (V-a) e (V-b) obtemos os valores das correntes
i1 e i3
Observação: ao invés de substituirmos a corrente no valor decimal vamos substituir o valor
dado pela fração para diminuir erros de arredondamento.
para a equação (V-a) temos a corrente i1
\[
\begin{gather}
i_1=\frac{5+2\times\dfrac{43}{55}}{7} \\[5pt]
i_1=\left(5+2\times\frac{43}{55}\right)\times\frac{1}{7}
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo entre parênteses por 55
\[
\begin{gather}
i_1=\left(5\times\frac{55}{55}+2\times\frac{43}{55}\right)\times\frac{1}{7} \\[5pt]
i_1=\left(\frac{275}{55}+\frac{86}{55}\right)\times\frac{1}{7} \\[5pt]
i_1=\frac{361}{55}\times\frac{1}{7} \\[5pt]
i_1=\frac{361}{385} \\[5pt]
i_1=0,94\;\mathrm A
\end{gather}
\]
para a equação (V-b) temos a corrente i3
\[
\begin{gather}
i_3=\frac{-1+2\times\dfrac{43}{55}}{7} \\[5pt]
i_3=\left(-1+2\times\frac{43}{55}\right)\times\frac{1}{7}
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo entre parênteses por 55
\[
\begin{gather}
i_3=\left(-1\times\frac{55}{55}+2\times\frac{43}{55}\right)\times\frac{1}{7} \\[5pt]
i_3=\left(\frac{-{55}}{55}+\frac{86}{55}\right)\times\frac{1}{7} \\[5pt]
i_3=\frac{31}{55}\times\frac{1}{7} \\[5pt]
i_3=\frac{31}{385} \\[5pt]
i_3=0,08\;\mathrm A
\end{gather}
\]
No ramo BG vai circular uma corrente i4 dada por
\[
\begin{gather}
i_4=i_1-i_2 \\[5pt]
i_4=\frac{361}{385}-\frac{43}{55}
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direiro da equação por 7
\[
\begin{gather}
i_4=\frac{361}{385}-\frac{43}{55}\times\frac{7}{7} \\[5pt]
i_4=\frac{361}{385}-\frac{301}{385} \\[5pt]
i_4=\frac{361-301}{385} \\[5pt]
i_4=\frac{60}{385}
\end{gather}
\]
dividindo o numerador e o denominador por 5
\[
\begin{gather}
i_4=\frac{60:5}{385:5} \\[5pt]
i_4=\frac{12}{77} \\[5pt]
i_4=0,16\ \mathrm A
\end{gather}
\]
O sentido da corrente i4 será o mesmo da corrente i1
(de maior valor).
No ramo CF vai circular uma corrente i5 dada por
\[
\begin{gather}
i_5=i_2-i_3 \\[5pt]
i_5=\frac{43}{55}-\frac{31}{385}
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo do lado direito da equação por 7
\[
\begin{gather}
i_5=\frac{43}{55}\times\frac{7}{7}-\frac{31}{385} \\[5pt]
i_5=\frac{301}{385}-\frac{31}{385} \\[5pt]
i_5=\frac{301-31}{385} \\[5pt]
i_5=\frac{270}{385}
\end{gather}
\]
dividindo o numerador e o denominador por 5
\[
\begin{gather}
i_5=\frac{270:5}{385:5} \\[5pt]
i_5=\frac{54}{77} \\[5pt]
i_5=0,70\ \mathrm A
\end{gather}
\]
O sentido da corrente i5 será o mesmo da corrente i2 (de maior valor).
Os valores das correntes são
i1=0,99 A,
i2=0,78 A,
i3=0,08 A,
i4=0,16 A,
e
i5=0,70 A,
e seus sentidos estão mostrados na Figura 5.
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