Exercício Resolvido de Leis de Kirchhoff
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No circuito abaixo o capacitor se encontra totalmente carregado, nesta condição determine:
a) A corrente no circuito;
b) A diferença de potencial (ddp) no capacitor;
c) A carga elétrica armazenada no capacitor;
d) A energia potencial elétrica no capacitor.



Dados do problema:

Resistores
  • R1 = 1 Ω;
  • R2 = 3 Ω;
  • R3 = 5 Ω;
Capacitor
  • C = 2 µ C;
Baterias
  • E1 = 12 V;
  • E2 = 2 V;
  • E3 = 4 V;
Solução

a) O problema nos diz que o capacitor está totalmente carregado, isto significa que no ramo BE a corrente é zero (iBE=0 - Figura 1).

Figura 1

Podemos desconsiderar o ramo BE, assim ficamos com um circuito de uma só malha (ACDFA).
Em primeiro lugar a esse circuito atribuímos, aleatoriamente, o sentido horário para a corrente. Em segundo lugar atribuímos um sentido, também aleatório, o sentido horário para percorrer o circuito (Figura 2).

Figura 2
  • Aplicando a Lei das Malhas
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_{n} V_{n}=0} \end{gather} \]
A partir do ponto A no sentindo escolhido
\[ \begin{gather} R_{2}i+E_{3}+R_{3}i-E_{1}+R_{1}i=0\\[5pt] R_{2}i+R_{3}i+R_{1}i=E_{1}-E_{3} \end{gather} \]
colocando a corrente i em evidência do lado esquerdo da equação
\[ \begin{gather} i(R_{2}+R_{3}+R_{1})=E_{1}-E_{3}\\[5pt] i=\frac{E_{1}-E_{3}}{R_{2}+R_{3}+R_{1}} \end{gather} \]
substituindo os valores do problema
\[ \begin{gather} i=\frac{12-4}{3+5+8}\\[5pt] i=\frac{8}{16} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {i=0,5\;\text{A}} \end{gather} \]
Como a corrente é positiva, o sentido da corrente escolhida na Figura 2 está correto.

b) Para encontrar a diferença de potencial no capacitor usamos o circuito completo novamente (Figura 3).

Figura 3

Usamos a malha ABEFA, a corrente com o sentido determinado no item (a) e percorrendo a malha no mesmo sentido da corrente.
  • Aplicando a Lei das Malhas
A partir do ponto A
\[ \begin{gather} E_{2}+\Delta V_{\text{c}}-E_{1}+R_{1}i=0\\[5pt] \Delta V_{\text{c}}=-E_{2}+E_{1}-R_{1}i \end{gather} \]
substituindo os valores do problema e a corrente encontrada no item anterior
\[ \begin{gather} \Delta V_{\text{c}}=-2+12-8.0,5\\[5pt] \Delta V_{\text{c}}=10-4 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta V_{\text{c}}=6\;\text{V}} \end{gather} \]

Observação: Poderíamos ter feito o cálculo usando a malha BCDEB, mas foi usada a malha ABEFA por ter menos elementos para o cálculo.
Se usássemos a malha BCDEB, teríamos a partir do ponto B
\[ \begin{gather} R_{2}i+E_{3}+R_{3}i+\Delta V_{\text{c}}-E_{2}=0\\[5pt] \Delta V_{\text{c}}=-R_{2}i-E_{3}-R_{3}i+E_{2}\\[5pt] \Delta V_{\text{c}}=-3.0,5-4-5.0,5+2\\[5pt] \Delta V_{\text{c}}=-1,5-4-2,5+2\\[5pt] \Delta V_{\text{c}}=-1,5-4-2,5+2\\[5pt] \Delta V_{\text{c}}=-6\text{V} \end{gather} \]
o sinal de negativo se deve ao fato de que percorremos o capacitor no sentido contrário ao da queda de tensão.


c) A carga armazenada no capacitor é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=C U} \end{gather} \]
substituindo o valor do capacitor dado no problema, e sendo ΔV=U o valor encontrado no item (b),
\[ \begin{gather} Q=2.10^{-6}.6\\[5pt] Q=12.10^{-6} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {Q=12\;\mu \text{C}} \end{gather} \]

d) A energia potencial elétrica armazenada num capacitor é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{P}=\frac{QU}{2}} \end{gather} \]
substituindo o valor da diferença de potencial do item (a) e a carga determinada no item (c)
\[ \begin{gather} E_{P}=\frac{12.10^{-6}.6}{2}\\[5pt] E_{P}=\frac{72.10^{-6}}{2}\\[5pt] E_{P}=36.10^{-6} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E_{P}=36\;\mu \text{J}} \end{gather} \]

Observação: Outras fórmulas poderiam ser usadas no cálculo da energia potencial elétrica
\[ \begin{gather} E_{P}=\frac{QU}{2}=\frac{CU^{2}}{2}=\frac{Q^{2}}{2C} \end{gather} \]
como todas as grandezas que aparecem nessas fórmulas são conhecidas no problema
\[ \begin{gather} Q=12.10^{-6}\;\text{C};\ \ C=2.10^{-6}\;\text{F};\ \ \Delta V=U=6\;\text{V} \end{gather} \]
a aplicação de qualquer uma dessas fórmulas levaria a mesma solução.
\[ \begin{gather} E_{P}=\frac{12.10^{-6}.6}{2}=\frac{2.10^{-6}.6^{2}}{2}=\frac{(\;12.10^{-6}\;)^{2}}{2.2.10^{-6}}\\[5pt] E_{P}=\frac{72.10^{-6}}{2}=\frac{2.10^{-6}.36}{2}=\frac{144.10^{-12}}{4.10^{-6}}\\[5pt] E_{P}=36.10^{-6}\;\text{J} \end{gather} \]
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