Exercício Resolvido de Leis de Kirchhoff
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No circuito abaixo, determinar as correntes nos ramos e seus verdadeiros sentidos.

 

Dados do problema:

Resistores:

  • R1 = 0,5 Ω;
  • R2 = 0,5 Ω;
  • R3 = 1 Ω;
  • R4 = 0,5 Ω;
  • R5 = 0,5 Ω;
  • R6 = 3 Ω;
  • R7 = 1 Ω.

Baterias:

  • E1 = 20 V;
  • E2 = 20 V;
  • E3 = 6 V;

Solução:

Em primeiro lugar, a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. No ramo EFAB temos a corrente i1 no sentido horário, no ramo BE a corrente i2 de B para E e no ramo EDCB a corrente i3 no sentido anti-horário. Em segundo lugar. para cada malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, para percorrer a malha. Para a malha α (ABEFA) sentido horário e para a malha β (BCDEB) também sentido horário (Figura 1).

Figura 1
  • Aplicando a Lei dos Nós
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_n i_n=0} \end{gather} \]

As correntes i1 e i3 chegam no nó B e a corrente i2 sai dele

\[ \begin{gather} i_{2}=i_{1}+i_{3} \tag{I} \end{gather} \]
  • Aplicando a Lei das Malhas
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_n V_n=0} \end{gather} \]

Para a malha α a partir do ponto A no sentido escolhido, esquecendo a malha β (Figura 2)

Figura 2
\[ \begin{gather} R_2i_1+R_4i_2+E_2+R_5i_2+R_3i_1+R_1i_1-E_1=0 \end{gather} \]

substituindo os valores do problema

\[ \begin{gather} 0,5i_1+0,5i_2+20+0,5i_2+1i_1+0,5i_1-20=0 \\[5pt] 2i_1+i_2=0 \tag{II} \end{gather} \]

Para a malha β a partir do ponto B no sentido escolhido, esquecendo a malha α (Figura 3)

Figura 3
\[ \begin{gather} -R_6i_3+E_3-R_7i_3-R_5i_2-E_2-R_4i_2=0 \end{gather} \]

substituindo os valores

\[ \begin{gather} -3i_3+6-1i_3-0,5i_2-20-0,5i_2=0 \\[5pt] -i_2-4i_3-14=0 \\[5pt] -i_2-4i_3=14 \tag{III} \end{gather} \]

As equações (I), (II) e (III) formam um sistema de três equações a três incógnitas (i1, i2 e i3)

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array} \;i_2=i_1+i_3\\ \;2i_1+i_2=0\\ \;-i_2-4i_3=14 \end{array}\right. \end{gather} \]

isolando o valor de i1 na segunda equação

\[ \begin{gather} i_1=\frac{-{i_2}}{2} \tag{IV} \end{gather} \]

isolando o valor de i3 na terceira equação

\[ \begin{gather} i_3=\frac{-14-i_2}{4} \tag{V} \end{gather} \]

substituindo as expressões (IV) e (V) na primeira equação

\[ \begin{gather} i_2=\frac{-{i_2}}{2}+\frac{\left(-14-i_2\right)}{4} \\[5pt] -i_2-\frac{i_2}{2}+\frac{\left(-14-i_2\right)}{4}=0 \end{gather} \]

multiplicando a equação por 4

\[ \begin{gather} \qquad\quad -i_2-\frac{i_2}{2}+\frac{\left(-14-i_2\;\right)}{4}=0 \qquad {\times 4} \\[5pt] -4 i_2-\cancelto{2}{4}\times\frac{i_2}{\cancel 2}+\cancel 4\times\frac{\left(-14-i_2\right)}{\cancel 4}=4.0 \\[5pt] -4i_2-2i_2-14-i_2=0 \\[5pt] -7i_2-14=0 \\[5pt] -7i_2=14 \\[5pt] i_2=\frac{14}{-7} \\[5pt] i_2=-2\;\mathrm A \tag{VI} \end{gather} \]

substituindo o valor (VI) encontrado acima, nas expressões (IV) e (V) encontramos os valores de i1 e i3

\[ \begin{gather} i_1=\frac{-{(-2)}}{2} \\[5pt] i_1=1\;\mathrm A \end{gather} \]
\[ \begin{gather} i_3=\frac{-14-(-2)}{4} \\[5pt] i_3=\frac{-14+2}{4} \\[5pt] i_3=\frac{-12}{4} \\[5pt] i_3=-3\;\mathrm A \end{gather} \]

Como o valor das correntes i2 e i3 são negativas, isto indica que seus verdadeiros sentidos são contrários àqueles escolhidos na Figura 1. Os valores das correntes são i1=1 A, i2=2 A, e i3=3 A, e seus sentidos estão mostrados na Figura 4.

Figura 4
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