No circuito abaixo, determinar as correntes nos ramos e seus verdadeiros sentidos.
Dados do problema:
Resistores:
- R1 = 0,5 Ω;
- R2 = 0,5 Ω;
- R3 = 1 Ω;
- R4 = 0,5 Ω;
- R5 = 0,5 Ω;
- R6 = 3 Ω;
- R7 = 1 Ω.
Baterias:
- E1 = 20 V;
- E2 = 20 V;
- E3 = 6 V;
Solução:
Em primeiro lugar, a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. No ramo
EFAB temos a corrente i1 no sentido horário, no ramo BE a corrente
i2 de B para E e no ramo EDCB a corrente i3 no
sentido anti-horário. Em segundo lugar. para cada malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório,
para percorrer a malha. Para a malha α (ABEFA) sentido horário e para a malha β
(BCDEB) também sentido horário (Figura 1).
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum_n i_n=0}
\end{gather}
\]
As correntes i1 e i3 chegam no nó B e a corrente
i2 sai dele
\[
\begin{gather}
i_{2}=i_{1}+i_{3} \tag{I}
\end{gather}
\]
- Aplicando a Lei das Malhas
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum_n V_n=0}
\end{gather}
\]
Para a malha α a partir do ponto A no sentido escolhido, esquecendo a malha β (Figura 2)
\[
\begin{gather}
R_2i_1+R_4i_2+E_2+R_5i_2+R_3i_1+R_1i_1-E_1=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores do problema
\[
\begin{gather}
0,5i_1+0,5i_2+20+0,5i_2+1i_1+0,5i_1-20=0 \\[5pt]
2i_1+i_2=0 \tag{II}
\end{gather}
\]
Para a malha β a partir do ponto B no sentido escolhido, esquecendo a malha α (Figura 3)
\[
\begin{gather}
-R_6i_3+E_3-R_7i_3-R_5i_2-E_2-R_4i_2=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores
\[
\begin{gather}
-3i_3+6-1i_3-0,5i_2-20-0,5i_2=0 \\[5pt]
-i_2-4i_3-14=0 \\[5pt]
-i_2-4i_3=14 \tag{III}
\end{gather}
\]
As equações (I), (II) e (III) formam um sistema de três equações a três incógnitas (i1,
i2 e i3)
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}
\;i_2=i_1+i_3\\
\;2i_1+i_2=0\\
\;-i_2-4i_3=14
\end{array}\right.
\end{gather}
\]
isolando o valor de i1 na segunda equação
\[
\begin{gather}
i_1=\frac{-{i_2}}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
isolando o valor de i3 na terceira equação
\[
\begin{gather}
i_3=\frac{-14-i_2}{4} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (IV) e (V) na primeira equação
\[
\begin{gather}
i_2=\frac{-{i_2}}{2}+\frac{\left(-14-i_2\right)}{4} \\[5pt]
-i_2-\frac{i_2}{2}+\frac{\left(-14-i_2\right)}{4}=0
\end{gather}
\]
multiplicando a equação por 4
\[
\begin{gather}
\qquad\quad -i_2-\frac{i_2}{2}+\frac{\left(-14-i_2\;\right)}{4}=0 \qquad {\times 4} \\[5pt]
-4 i_2-\cancelto{2}{4}\times\frac{i_2}{\cancel 2}+\cancel 4\times\frac{\left(-14-i_2\right)}{\cancel 4}=4.0 \\[5pt]
-4i_2-2i_2-14-i_2=0 \\[5pt]
-7i_2-14=0 \\[5pt]
-7i_2=14 \\[5pt]
i_2=\frac{14}{-7} \\[5pt]
i_2=-2\;\mathrm A \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo o valor (VI) encontrado acima, nas expressões (IV) e (V) encontramos os valores de
i1 e i3
\[
\begin{gather}
i_1=\frac{-{(-2)}}{2} \\[5pt]
i_1=1\;\mathrm A
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
i_3=\frac{-14-(-2)}{4} \\[5pt]
i_3=\frac{-14+2}{4} \\[5pt]
i_3=\frac{-12}{4} \\[5pt]
i_3=-3\;\mathrm A
\end{gather}
\]
Como o valor das correntes i2 e i3 são negativas, isto indica que seus
verdadeiros sentidos são contrários àqueles escolhidos na Figura 1. Os valores das correntes são
i1=1 A,
i2=2 A,
e
i3=3 A,
e seus sentidos estão mostrados na Figura 4.