Exercício Resolvido de Força Elétrica

Duas esferas iguais, eletrizadas com cargas q₁ e q₂, repelem-se com força de intensidade 2,0.10⁻³ N, quando a distância entre elas é d. A seguir as esferas são colocadas em contato e afastadas de \( \dfrac{d}{2} \). Nestas novas condições, a força de repulsão passa a ter intensidade de 9,0.10⁻³ N. Determinar a relação \( \dfrac{q_{1}}{q_{2}} \).

Dados do problema:

Carga da esfera 1: q₁;
Carga da esfera 2: q₂;
Distância inicial entre as esferas: d;
Intensidade inicial da força entre as esferas: F_i = 2,0.10⁻³ N;
Distância final entre as esferas: \( \dfrac{d}{2} \);
Intensidade final da força entre as esferas: F_f = 9,0.10⁻³ N;
Constante eletrostática: k.

Esquema do problema:

Inicialmente as esferas estão separadas por uma distância d e uma força F_i atua sobre elas. A seguir as esferas são colocadas em contato, a carga total das esferas vai se distribuir igualmente pelas duas esferas (Figura 1).

Figura 1

Finalmente as esferas são colocadas a uma distância \( \dfrac{d}{2} \) e uma força F_f atua sobre elas.

Solução

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{E}=k_{0}\frac{|Q|\;|q|}{r^{2}}} \tag{I} \end{gather} \]

Aplicando a expressão (I) para a situação inicial

\[ \begin{gather} F_{i}=k\frac{|q_{1}|\;|q_{2}|}{d^{2}}\\[5pt] 2,0.10^{-3}=k\frac{q_{1}q_{2}}{d^{2}} \tag{II} \end{gather} \]

Quando as esferas são colocadas em contato suas cargas se distribuem igualmente pelas duas esferas, a carga final delas será

\[ \begin{gather} q_{f}=\frac{q_{1}+q_{2}}{2} \end{gather} \]

Aplicando a expressão (I) para a situação final

\[ \begin{gather} F_{f}=k\frac{|q_{f}|\;|q_{f}|}{r^{2}}\\[5pt] 9,0.10^{-3}=k\frac{\left(\dfrac{q_{1}+q_{2}}{2}\right)\left(\dfrac{q_{1}+q_{2}}{2}\right)}{\left(\dfrac{d}{2}\right)^{2}}\\[5pt] 9,0.10^{-3}=k\frac{\dfrac{\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2}}{\cancel{4}}}{\dfrac{d^{2}}{\cancel{4}}}\\[5pt] 9,0.10^{-3}=k\frac{\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2}}{d^{2}} \tag{III} \end{gather} \]

Dividindo a expressão (II) pela expressão (III)

\[ \begin{gather} \frac{2,0.10^{-3}}{9,0.10^{-3}}=\frac{\cancel{k}\dfrac{q_{1}q_{2}}{\cancel{d^{2}}}}{\cancel{k}\dfrac{\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2}}{\cancel{d^{2}}}}\\[5pt] \frac{2,0}{9,0}=\frac{q_{1}q_{2}}{\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2}} \end{gather} \]

Lembrando dos Produtos Notáveis \( (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} . \)

\[ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \]

Aplicando esse Produto Notável ao denominador do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} \frac{2,0}{9,0}=\frac{q_{1}q_{2}}{\left(q_{1}^{2}+2q_{1}q_{2}+q_{2}^{2}\right)}\\[5pt] 2,0\left(q_{1}^{2}+2q_{1}q_{2}+q_{2}^{2}\right)=9,0q_{1}q_{2}\\[5pt] 2,0q_{1}^{2}+4,0q_{1}q_{2}+2,0q_{2}^{2}=9,0q_{1}q_{2}\\[5pt] 2,0q_{1}^{2}+2,0q_{2}^{2}=9,0q_{1}q_{2}-4,0q_{1}q_{2}\\[5pt] 2,0q_{1}^{2}+2,0q_{2}^{2}=5,0q_{1}q_{2}\\[5pt] 2,0\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)=5,0q_{1}q_{2}\\[5pt] \frac{q_{1}^{\cancel{2}}}{\cancel{q_{1}}q_{2}}+\frac{q_{2}^{\cancel{2}}}{q_{1}\cancel{q_{2}}}=\frac{5,0}{2,0}\\[5pt] \frac{q_{1}}{q_{2}}+\frac{q_{2}}{q_{1}}=\frac{5,0}{2,0}\\[5pt] \frac{q_{1}}{q_{2}}+\frac{q_{2}}{q_{1}}-\frac{5,0}{2,0}=0 \end{gather} \]

fazendo a definição \( x\equiv \dfrac{q_{1}}{q_{2}}\Rightarrow \dfrac{1}{x}\equiv\dfrac{q_{2}}{q_{1}} \)

\[ \begin{gather} x+\frac{1}{x}-\frac{5,0}{2,0}=0 \end{gather} \]

multiplicando a equação por 2x

\[ \begin{gather} \qquad\qquad\quad x+\frac{1}{x}-\frac{5}{2}=0\qquad (\times2x)\\[5pt] 2 x.x+2 \cancel{x}.\frac{1}{\cancel{x}}-\cancel{2} x.\frac{5}{\cancel{2}}=0\\[5pt] 2x^{2}+2-5x=0\\[5pt] 2x^{2}-5x+2=0 \end{gather} \]

Solução da equação \( 2x^{2}-5x+2=0 \)

\[ \begin{gather} \Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4.2.2=25-16=9\\[10pt] x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{9\;}}{2.2}=\frac{5\pm 3}{4} \end{gather} \]

as duas raízes da equação são

\[ \begin{gather} x_{1}=2 \qquad \mathrm{ou} \qquad x_{2}=\frac{1}{2} \end{gather} \]

Temos duas soluções possíveis

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{q_{1}}{q_{2}}=2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{q_{1}}{q_{2}}=\frac{1}{2}} \end{gather} \]

Observação: O problema não fornece os valores das cargas ou qual delas têm o maior valor. A primeira solução \( \dfrac{q_{1}}{q_{2}}=2\Rightarrow q_{1}=2q_{2} \) nos dá que a primeira esfera está carregada com uma carga que é 2 vezes maior do que a carga da segunda esfera. A segunda solução \( \dfrac{q_{1}}{q_{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow q_{2}=2q_{1} \) nos dá que a segunda esfera está carregada com uma carga que é 2 vezes maior do que a carga da primeira esfera. A solução do problema contempla todas as possibilidades que correspondem a situação dada.

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