Exercício Resolvido de Força Elétrica
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Uma carga q = 1,0 μC está fixa num ponto O do espaço. Uma segunda carga Q = 25,0.10−8 C e de peso P = 2,5.10−2 N tem seu movimento limitado à vertical que passa por O. As cargas estão no vácuo. Determine:
a) A carga Q está em equilíbrio acima ou abaixo de O?
b) No equilíbrio qual a distância entre as cargas?
c) O tipo de equilíbrio de Q, estável, instável ou indiferente?


Dados do problema:
  • Carga q:    q = 1,0 μC = 1,0. 10−6 C;
  • Carga Q:    Q = 25,0.10−8 C;
  • Peso da esfera de carga Q:    P = 2,5.10−2 N;
  • Constante eletrostática do vácuo:    \( k_{0}=9.10^{9}\;\frac{\text{N.m}^{2}}{\text{C}^{2}} \).
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado para cima com origem no ponto onde está colocada a carga fixa q, a aceleração da gravidade igual a g orientada para baixo (Figura 1). A carga livre Q está a uma distância d da origem. Como as duas cargas são positivas a força elétrica \( {\vec{F}}_{E} \) entre elas é de repulsão e a força peso \( \vec{P} \) que atua na carga Q aponta para baixo no mesmo sentido da aceleração da gravidade.
Figura 1

Solução

a) Para que o sistema permaneça em equilíbrio a resultante das forças que atuam na carga Q devem ser nula
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum \vec{F}=0} \end{gather} \]
Pela Figura 1 podemos escrever
\[ \begin{gather} F_{E}-P=0 \tag{I} \end{gather} \]
pela Lei de Coulomb a intensidade da força elétrica é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{E}=k_{0}\frac{|Q|\;|q|}{r^{2}}} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[ \begin{gather} k_{0}\frac{|Q||q|}{r^{2}}-P=0\\[5pt] 9.10^{9}.\frac{|25,0.10^{-8}\;||1,0.10^{-6}\;|}{d^{2}}-2,5.10^{-2}=0\\[5pt] 9.10^{9}.\frac{25,0.10^{-8}1,0.10^{-6}}{d^{2}}=2,5.10^{-2}\\[5pt] 9.10^{9}.25,0.10^{-14}=2,5.10^{-2}d^{2}\\[5pt] d^{2}=\frac{9.25,0.10^{-5}}{2,5.10^{-2}}\\[5pt] d^{2}=9.10.10^{-5}.10^{2}\\[5pt] d^{2}=9.10^{-2}\\[5pt] d=\sqrt{9.10^{-2}\;}\\[5pt] d=\pm 3.10^{-1}\;\text{m} \end{gather} \]

Para a raiz positiva a carga está acima do ponto O, como as cargas são positivas a força elétrica de repulsão em Q aponta para cima e a força peso para baixo estas forças se anulam e carga está em equilíbrio (Figura 2-A). Para a raiz negativa a carga está abaixo do ponto O, a força elétrica de repulsão aponta para baixo, a força peso também aponta para baixo haverá uma força resultante nessa direção que fará a carga Q se afastar de q, a situação não é de equilíbrio.
A carga Q está em equilíbrio acima do ponto O.
Figura 2

b) No equilíbrio a distância entre as cargas será de
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {d=3.10^{-1}\;\text{m}} \end{gather} \]

c) Inicialmente a carga Q está numa posição de equilíbrio a uma distância d da carga q, neste ponto a força elétrica e a força peso se anulam (Figura 3-A). Como a intensidade da força elétrica dada pele Lei de Coulomb é igual a FE, se a carga Q for deslocada para cima, aumentando a distância d até a carga q, o denominador da expressão (II) aumenta e como resultado a força elétrica diminui. Como a força peso é constante isto faz aparecer uma força resultante para baixo o que traz o sistema de volta ao equilíbrio (Figura 3-B). Se a carga Q for deslocada para baixo, diminuindo a distância d até a carga q, o denominador da expressão (II) diminui e como resultado a força elétrica aumenta. Como a força peso é constante isto faz aparecer uma força resultante para cima o que traz o sistema de volta ao equilíbrio (Figura 3-C).
Portanto o equilíbrio é estável.
Figura 3
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