Exercício Resolvido de Força Elétrica
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Duas esferas carregadas, com cargas q1 e q2 de mesmo sinal, estão ligadas por um fio de material isolante de comprimento R e diâmetro d. Determinar o diâmetro mínimo desse fio para que resista a força elétrica de repulsão entre as cargas sabendo que um outro fio de mesmo material e diâmetro D resiste no máximo a uma tração de intensidade T. Suponha o sistema no vácuo.


Dados do problema:
  • Carga 1:    q1;
  • Carga 2:    q2;
  • Distância entre as cargas:    R;
  • Diâmetro do fio conhecido:    D;
  • Tração no fio conhecido:    T;
  • Constante eletrostática do vácuo:    k0.
Esquema do problema:

Como as cargas são de mesmo sinal existe entre elas uma força elétrica de repulsão \( {\vec{F}}_{E} \), esta força tenciona o fio que liga as cargas com uma força de intensidade \( {\vec{T}}_{E} \) (Figura 1).
Figura 1

Solução

Pela Lei de Coulomb a intensidade da força elétrica é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{E}=k_{0}\frac{|Q_{1}||Q_{2}|}{r^{2}}} \end{gather} \]
a força elétrica de repulsão entre as esferas será
\[ \begin{gather} F_{E}=k_{0}\frac{q_{1}\;q_{2}}{R^{2}} \tag{I} \end{gather} \]
Ampliando uma seção transversal do fio que une as esferas (Figura 2), podemos ver que a tração no fio pode ser dividida por unidade de área do fio
\[ \begin{gather} T_{u}=\frac{T_{E}}{a} \tag{II} \end{gather} \]
A área da seção transversal circular do fio é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a=\pi r^{2}} \end{gather} \]
sendo o raio metade do diâmetro do fio, \( \left(r=\frac{d}{2}\right) \)
Figura 2
\[ \begin{gather} a=\pi \left(\frac{d}{2}\right)^{2}\\[5pt] a=\pi\frac{d^{2}}{4} \tag{III} \end{gather} \]
como a força elétrica de repulsão é igual a tensão no fio, FE = TE, substituímos as expressões (I) e (III) na expressão (II) para obter a tração por unidade de área
\[ \begin{gather} T_{u}=\frac{k_{0}\dfrac{q_{1}\;q_{2}}{R^{2}}}{\pi\dfrac{d^{2}}{4}}\\[5pt] T_{u}=k_{0}\frac{q_{1}\;q_{2}}{R^{2}}\frac{4}{\pi d^{2}} \tag{IV} \end{gather} \]
O problema nos diz que um outro fio conhecido, de diâmetro D resiste a uma tração de módulo T. Usando o mesmo raciocínio podemos obter a tração por unidade de área neste fio (Figura 3)
\[ \begin{gather} T_{u}=\frac{T}{A} \tag{V} \end{gather} \]
A área da seção transversal circular do fio é dada por
\[ \begin{gather} A=\pi r^{2} \end{gather} \]
sendo o raio metade do diâmetro do fio, \( \left(r=\frac{D}{2}\right) \)
\[ \begin{gather} A=\pi \left(\frac{D}{2}\right)^{2}\\[5pt] A=\pi\frac{D^{2}}{4} \tag{VI} \end{gather} \]
Figura 3

substituindo a expressão (VI) na expressão (V), obtemos a tração por unidade de área do fio conhecido
\[ \begin{gather} T_{u}=\frac{T}{\pi \dfrac{D^{2}}{4}}\\[5pt] T_{u}=T\frac{4}{\pi D^{2}} \tag{VII} \end{gather} \]
O fio mais grosso resiste a uma tração maior que o fio mais fino, pois sua área é maior, mas a tração por unidade de área é igual para os dois fios, igualando as expressões (IV) e (VII)
\[ \begin{gather} k_{0}\frac{q_{1}\;q_{2}}{R^{2}}\frac{\cancel{4}}{\cancel{\pi} d^{2}}=T\frac{\cancel{4}}{\cancel{\pi} D^{2}}\\[5pt] k_{0}\frac{q_{1}\;q_{2}}{R^{2}}\frac{1}{d^{2}}=T\frac{1}{D^{2}}\\[5pt] k_{0}\frac{q_{1}\;q_{2}}{R^{2}}\frac{D^{2}}{T}=d^{2}\\[5pt] d=\sqrt{k_{0}\frac{q_{1}\;q_{2}}{R^{2}}\frac{D^{2}}{T}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {d=\frac{D}{R}\sqrt{k_{0}\frac{q_{1}q_{2}}{T}}} \end{gather} \]
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