Exercício Resolvido de Força Elétrica
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Três esferas, cada uma delas de peso P e eletrizada com carga Q, estão suspensas por fios isolantes de comprimento L presos a um mesmo ponto. Na posição de equilíbrio os fios formam um ângulo θ com a vertical. Calcule a carga Q,



Dados do problema:
  • Peso de cada esfera:    P;
  • Comprimento do fio:    L;
  • Ângulo entre o fio e a vertical:    θ;
  • Constante eletrostática do vácuo:    k0.
Solução

Olhando este arranjo de cargas de cima em direção a um plano horizontal que contém as cargas (Figura 1-A), como todas as cargas têm o mesmo valor elas se repelem ficando equidistantes umas das outras (Figura 1-B). As cargas estão nos vértices de um triângulo equilátero, sendo a distância entre duas cargas igual a d, o ângulo entre dois lados do triângulo é de 60º.

Figura 1

A distância de uma carga ao centro da distribuição é R e a distância d entre duas cargas, lado do triângulo, pode ser encontrada aplicando-se a Lei dos Cossenos (Figura 1-B)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} d^{2}=R^{2}+R^{2}-2RR\cos 120° \end{gather} \]
Lembrando da Trigonometria    \( \cos 120°=-{\dfrac{1}{2}} \)
\[ \begin{gather} d^{2}=2R^{2}-\cancel{2}R^{2}.\left(-{\frac{1}{\cancel{2}}}\right)\\[5pt] d^{2}=2R^{2}+R^{2}\\[5pt] d^{2}=3R^{2}\\[5pt] d=\sqrt{3R^{2}\;}\\[5pt] d=R\sqrt{3\;} \end{gather} \]
Sobre uma das cargas atua a força elétrica \( {\vec{F}}_{E} \) devido às outras duas cargas, usando a Lei de Coulomb
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{E}=k_{0}\frac{|Q_{1}||Q_{2}|}{r^{2}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} F_{E}=k_{0}\frac{Q\;Q}{d^{2}}\\[5pt] F_{E}=k_{0}\frac{Q^{2}}{\left(R\sqrt{3\;}\right)^{2}}\\[5pt] F_{E}=k_{0}\frac{Q^{2}}{3R^{2}} \tag{I} \end{gather} \]
O ângulo ente estas forças é oposto ao ângulo do triângulo onde está a carga, assim este ângulo também mede 60º (Figura 1-B). A força elétrica resultante sobre uma das cargas, \( {\vec{F}}_{ER} \), é calculada aplicando a Lei dos Cossenos
\[ \begin{gather} F_{ER}^{2}=F_{E}^{2}+F_{E}^{2}+2F_{E}F_{E}\cos 60° \end{gather} \]
Lembrando da Trigonometria    \( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)
\[ \begin{gather} F_{ER}^{2}=2F_{E}^{2}+\cancel{2}F_{E}^{2}\frac{1}{\cancel{2}}\\[5pt] F_{ER}^{2}=2F_{E}^{2}+F_{E}^{2}\\[5pt] F_{ER}^{2}=3F_{E}^{2}\\[5pt] F_{ER}=\sqrt{3F_{E}^{2}\;}\\[5pt] F_{ER}=F_{E}\sqrt{3\;} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo o valor da força entre duas cargas encontrado na expressão (I) na expressão (II), temos a resultante sobre uma das cargas
\[ \begin{gather} F_{E}=k_{0}\frac{Q^{2}}{R^{2}}\frac{\sqrt{3\;}}{3} \tag{III} \end{gather} \]
O raio da circunferência em torno do qual as esferas se distribuem pode ser escrito em função de L e θ dados (Figura 2)
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{R}{L}\\[5pt] R=L\operatorname{sen}\theta \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ \begin{gather} F_{E}=k_{0}\frac{Q^{2}}{L^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta}\frac{\sqrt{3\;}}{3} \tag{V} \end{gather} \]

Figura 2

Observação: Por que na primeira Lei dos Cossenos foi usado o sinal de subtração do cosseno e na segunda uma soma?

Para um triângulo de lados a, b, c e ângulo α, oposto ao lado c como na figura, a Lei dos Cossenos é escrita como
\[ \begin{gather} c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha \end{gather} \]
como é o primeiro caso do problema.

No entanto se o lado b do triângulo for colocado numa posição formando um ângulo β com o lado a, este ângulo será o mesmo que o ângulo formado entre um prolongamento do lado a e a posição original do lado b, estes dois ângulo são suplementares (sua soma é 180°), assim o valor de β será
\[ \begin{gather} \alpha +\beta =180°\\[5pt] \beta=180°-\alpha \end{gather} \]
Aplicanado a Lei dos Cossenos a este caso
\[ \begin{gather} c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \beta\\[5pt] c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos (180°-\alpha ) \end{gather} \]
pela identidade do cosseno da diferença de arcos
\[ \begin{gather} \cos (x-y)=\cos x\cos y+\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y \end{gather} \]
\[ \begin{gather} c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab(\cos 180°\cos \alpha+\operatorname{sen}180°\operatorname{sen}\alpha)\\[5pt] c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab(-1.\cos \alpha +0.\operatorname{sen}\alpha)\\[5pt] c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha \end{gather} \]
o segundo caso do problema é equivalente ao primeiro.
Assim as duas expressões coincidem, dependendo apenas de qual ângulo é considerado.

Olhando agora em direção a um plano vertical que contenha uma carga e o fio que a sustenta (Figura 5-A). Atuam sobre a carga a força peso \( \vec{P} \), a tensão no fio \( \vec{T} \) e a força elétrica \( {\vec{F}}_{E} \) devido às outras cargas (Figura 5-B). O ângulo do fio, onde a carga esta fixada, e a vertical é dado igual a θ este também é o ângulo entre o fio e a vertical que passa pela carga, são ângulo alternos internos.
Desenhamos as forças em um sistema de eixos Cartesianos e decompomos as forças ao longo das direções x e y (Figura 6). Aplicando a 2.ª Lei de Newton
Figura 5
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \tag{VI} \end{gather} \]
  • Direção y:
Na direção y temos a força peso \( \vec{P} \) e a componente y da força de tensão \( {\vec{T}}_{y} \), como não há movimento nesta direção as forças se anulam e a resultante é zero.
\[ \begin{gather} P-T_{y}=0\\[5pt] P=T_{y} \tag{VII} \end{gather} \]
O ângulo θ é medido entre a força tensão e o eixo-y, então a componente da força de tensão na direção y é dada por
\[ \begin{gather} T_{y}=T\cos \theta \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VIII) na expressão (VII)
\[ \begin{gather} P=T\cos \theta \tag{IX} \end{gather} \]
Figura 6
  • Direção x:
Na direção x temos a força elétrica \( {\vec{F}}_{E} \) e a componente horizontal da força de tensão \( {\vec{T}}_{x} \), como não há movimento nesta direção as forças se anulam e resultante é zero
\[ \begin{gather} T_{x}-F_{E}=0\\[5pt] T_{x}=F_{E} \tag{X} \end{gather} \]
a componente da força de tensão na direção x é dada por
\[ \begin{gather} T_{x}=T\operatorname{sen}\theta \tag{XI} \end{gather} \]
substituindo a expressão (XI) na expressão (X)
\[ \begin{gather} F_{E}=T\operatorname{sen}\theta \tag{XII} \end{gather} \]
Dividindo a expressão (XI) pela expressão (IX)
\[ \begin{gather} \frac{F_{E}}{P}=\frac{\cancel{T}\operatorname{sen}\theta }{\cancel{T}\cos \theta } \end{gather} \]
Lembrando da Trigonometria    \( \dfrac{\operatorname{sen}\theta }{\cos \theta }=\operatorname{tg}\theta \)
\[ \begin{gather} \frac{F_{E}}{P}=\operatorname{tg}\theta\\[5pt] F_{E}=P\operatorname{tg}\theta \end{gather} \]
substituindo a força elétrica pelo valor encontrado na expressão (V)
\[ \begin{gather} k_{0}\frac{Q^{2}}{L^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta}\frac{\sqrt{3\;}}{3}=P\operatorname{tg}\theta\\[5pt] Q^{2}=\frac{3}{\sqrt{3\;}}\frac{P\operatorname{tg}\theta}{k_{0}}L^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta \end{gather} \]
multiplicando o termo do lado direito da igualdade por \( \frac{\sqrt{3\;}}{\sqrt{3\;}} \)
\[ \begin{gather} Q^{2}=\frac{3}{\sqrt{3\;}}\frac{\sqrt{3\;}}{\sqrt{3\;}}\frac{P\operatorname{tg}\theta}{k_{0}}L^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\\[5pt] Q^{2}=\frac{\cancel{3}\sqrt{3\;}}{\cancel{3}}\frac{P\operatorname{tg}\theta}{k_{0}}L^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\\[5pt] Q^{2}=\frac{\sqrt{3\;}P\operatorname{tg}\theta}{k_{0}}L^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\\[5pt] Q=\sqrt{\frac{\sqrt{3\;}P\operatorname{tg}\theta}{k_{0}}L^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta \;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {Q=L\operatorname{sen}\theta\sqrt{\frac{\sqrt{3\;}P\operatorname{tg}\theta }{k_{0}}\;}} \end{gather} \]
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