Exercício Resolvido de Força Elétrica
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Três cargas elétricas, de 1 μC cada, estão fixas nos vértices de um quadrado de lado 1 m, uma partícula de carga de 1 μC e massa 1 g é abandonada em repouso no quarto vértice do quadrado, neste momento começa a sofrer a ação repulsiva das outras cargas. Determinar a aceleração da partícula no momento em que ela é abandonada.


Dados do problema:
  • Valor das cargas:    q = 1 μC;
  • Massa da carga livre:    m = 1 g;
  • Distância entre as cargas:    L = 1 m;
  • Constante eletrostática do vácuo    \( k_{0}=9.10^{9}\;\frac{\mathrm{N.m}^{2}}{\mathrm{C}^{2}} \).
Esquema do problema:

A força elétrica entre duas cargas está na direção da linha que une estas cargas, então \( {\vec{F}}_{1} \) é a força elétrica entre a carga q e a carga q1, \( {\vec{F}}_{2} \) é a força elétrica entre a carga q e a carga q2 e \( {\vec{F}}_{3} \) é a força elétrica entre a carga q e a carga q3 (Figura 1).
A distância entre as cargas q e q2 será a diagonal d do quadrado, usando o Teorema de Pitágoras
\[ \begin{gather} d^{2}=L^{2}+L^{2}\\[5pt] d^{2}=1^{2}+1^{2}\\[5pt] d^{2}=2\\[5pt] d=\sqrt{2\;}\;\mathrm{m} \end{gather} \]
Figura 1

Solução

Em primeiro lugar vamos converter a unidade da massa dada em gramas para quilogramas usado no Sistema Internacional (S.I.).
\[ \begin{gather} m=1\;\cancel{\mathrm{g}}.\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\cancel{\mathrm{g}}}=\frac{1\;\mathrm{kg}}{10^{3}} =1.10^{-3}\;\mathrm{kg} \end{gather} \]
Pela Lei de Coulomb a força elétrica é dada, em módulo, por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{E}=k_{0}\frac{|Q_{1}||Q_{2}|}{r^{2}}} \tag{I} \end{gather} \]
Desenhamos as forças em um sistema de eixos cartesianos e obtemos suas componentes ao longo das direções x e y (Figura 2).
Figura 2
  • Direção x:
A força \( {\vec{F}}_{1} \) só tem componente na direção x, em módulo
\[ \begin{gather} F_{1x}=k_{0}\frac{q\;q_{1}}{L^{2}}\\[5pt] F_{1x}=9.10^{9}.\frac{1.10^{-6}.1.10^{-6}}{1^{2}}\\[5pt] F_{1x}=9.10^{9}.1.10^{-12}\\[5pt] F_{1x}=9.10^{-3} \tag{II} \end{gather} \]
A componente x da força \( {\vec{F}}_{2} \) é dada por
\[ \begin{gather} F_{2x}=F_{2}\cos 45° \end{gather} \]
onde F2 é dado pela expressão (I)

Lembrando da Trigonometria    \( \cos 45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)
\[ \begin{gather} F_{2x}=k_{0}\frac{q\;q_{2}}{d^{2}}\cos 45°\\[5pt] F_{2x}=9.10^{9}.\frac{1.10^{-6}.1.10^{-6}}{(\sqrt{2\;})^{2}}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\[5pt] F_{2x}=9.10^{9}.\frac{1.10^{-12}}{2}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\[5pt] F_{2x}=9.10^{-3}.\frac{\sqrt{2\;}}{4} \tag{III} \end{gather} \]
A resultante das forças ao longo da direção x será dada pela soma das expressões (II) e (III)
\[ \begin{gather} F_{x}=F_{1x}+F_{2x}\\[5pt] F_{x}=9.10^{-3}+9.10^{-3}.\frac{\sqrt{2\;}}{4}\\[5pt] F_{x}=9.10^{-3}.\left(1+\frac{\sqrt{2\;}}{4}\right) \tag{IV} \end{gather} \]
  • Direção y:
A força \( {\vec{F}}_{3} \) só tem componente na direção y, em módulo
\[ \begin{gather} F_{3y}=k_{0}\frac{q\;q_{3}}{L^{2}}\\[5pt] F_{3y}=9.10^{9}.\frac{1.10^{-6}.1.10^{-6}}{1^{2}}\\[5pt] F_{3y}=9.10^{9}.1.10^{-12}\\[5pt] F_{3y}=9.10^{-3} \tag{V} \end{gather} \]
A componente y da força \( {\vec{F}}_{2} \) é dada por
\[ \begin{gather} F_{2y}=F_{2}\operatorname{sen}45° \end{gather} \]
onde F2 é dado pela expressão (I)

Lembrando da Trigonometria    \( \operatorname{sen}45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)
\[ \begin{gather} F_{2y}=k_{0}\frac{q\;q_{2}}{d^{2}}\operatorname{sen}45°\\[5pt] F_{2y}=9.10^{9}.\frac{1.10^{-6}.1.10^{-6}}{(\sqrt{2\;})^{2}}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\[5pt] F_{2y}=9.10^{9}.\frac{1.10^{-12}}{2}.\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\[5pt] F_{2y}=9.10^{-3}.\frac{\sqrt{2\;}}{4} \tag{VI} \end{gather} \]
A resultante das forças ao longo da direção y será dada pela soma de (V) e (VI)
\[ \begin{gather} F_{y}=F_{3y}+F_{2y}\\[5pt] F_{y}=9.10^{-3}+9.10^{-3}.\frac{\sqrt{2\;}}{4}\\[5pt] F_{y}=9.10^{-3}.\left(1+\frac{\sqrt{2\;}}{4}\right) \tag{VII} \end{gather} \]
O módulo da força elétrica resultante FE será obtido usando o Teorema de Pitágoras usando as expressões (IV) e (VII)
\[ \begin{gather} F_{E}^{2}=F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\\[5pt] F_{E}^{2}=\left[9.10^{-3}.\left(1+\frac{\sqrt{2\;}}{4}\right)\right]^{2}+\left[9.10^{-3}.\left(1+\frac{\sqrt{2\;}}{4}\right)\right]^{2}\\[5pt] F_{E}^{2}=2.\left[9.10^{-3}.\left(1+\frac{\sqrt{2\;}}{4}\right)\right]^{2}\\[5pt] F_{E}=\sqrt{2.\left[9.10^{-3}.\left(1+\frac{\sqrt{2\;}}{4}\right)\right]^{2}\;}\\[5pt] F_{E}=9.10^{-3}.\left(1+\frac{\sqrt{2\;}}{4}\right).\sqrt{2\;}\\[5pt] F_{E}=9.10^{-3}.\left(\sqrt{2\;}+\frac{\sqrt{2\;}.\sqrt{2\;}}{4}\right)\\[5pt] F_{E}=9.10^{-3}.\left(\sqrt{2\;}+\frac{2}{4}\right)\\[5pt] F_{E}=9.10^{-3}.\left(\sqrt{2\;}+\frac{1}{2}\right)\\[5pt] F_{E}=1,72.10^{-2}\;\mathrm{N} \end{gather} \]
Usando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec{F}=m\vec{a}} \end{gather} \]
a única força atuando na carga é a força elétrica FE, então a aceleração estará na mesma direção e sentido da força elétrica resultante
Figura 3
\[ \begin{gather} F_{E}=ma\\[5pt] a=\frac{F_{E}}{m}\\[5pt] a=\frac{1,72.10^{-2}}{1.10^{-3}}\\[5pt] a=1,72.10^{-2}.10^{3}\\[5pt] a=1,72.10 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=17,2\;\mathrm{m/s}^{2}} \end{gather} \]
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