Duas espiras circulares iguais E1 e E2, situadas em planos
perpendiculares com centros coincidentes e raios R=5 π cm, são percorridas pelas
correntes i1=3 A e i2=4 A, indicadas na figura.
Sendo
\( \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\,\frac{\mathrm{T.m}}{\mathrm A} \).
Determine o vetor campo magnético no centro O.
Dados do problema:
- Raio das espiras: R = 5 π cm;
- Corrente na espira 1: i1 = 3 A;
- Corrente na espira 2: i2 = 4 A;
-
Permeabilidade magnética do vácuo:
\( \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\,\frac{\mathrm{T.m}}{\mathrm A} \).
Solução:
Em primeiro lugar devemos converter a unidade do raio das espiras dadas em centímetros (cm) para
metros (m) usados no Sistema Internacionais de Unidades (S.I.).
\[
\begin{gather}
R=5\pi\;\cancel{\mathrm{cm}}\times\frac{1\;\mathrm m}{100\;\cancel{\mathrm{cm}}}=0,05\pi\;\mathrm m=5\times 10^{-2}\pi\;\mathrm m
\end{gather}
\]
O campo gerado pela corrente
i1 no centro da espira
E1 pode ser
obtido pela aplicação da
regra da mão direita. Colocando-se o dedo polegar na direção da corrente
i1 os demais dedos irão indicar a direção do campo, que neste caso será perpendicular
ao plano da espira e com sentido para “dentro” (Figura 1).
O módulo do campo magnético
B é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{B=\frac{\mu_0}{2}\frac{i}{r}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Para o campo magnético B1, aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
B_1=\frac{\mu_0}{2}\frac{i_1}{r_1} \\[5pt]
B_1=\frac{4\pi\times 10^{-7}}{2}\times\frac{3}{5\pi\times 10^{-2}} \\[5pt]
B_1=\frac{12\times 10^{-7}}{10\times 10^{-2}} \\[5pt]
B_1=12\times 10^{-7}\times 10 \\[5pt]
B_1=12\times 10^{-6}\;\mathrm T \\[5pt]
B_1=1,2\times 10^{-5}\;\mathrm T \tag{II}
\end{gather}
\]
O campo gerado pela corrente i2 no centro da espira E2 pode ser obtido
pela aplicação da regra da mão direita. Colocando-se o dedo polegar na direção da corrente
i2 os demais dedos irão indicar a direção do campo, que neste caso será perpendicular ao
plano da espira e com sentido para “baixo” (Figura 2).
Para o campo magnético
B2, aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
B_2=\frac{\mu_0}{2}\frac{i_1}{r_1} \\[5pt]
B_2=\frac{4\pi\times 10^{-7}}{2}\times\frac{4}{5\pi\times 10^{-2}} \\[5pt]
B_2=\frac{16\times 10^{-7}}{10\times 10^{-2}} \\[5pt]
B_2=16\times 10^{-7}\times 10 \\[5pt]
B_2=16\times 10^{-6}\;\mathrm T \\[5pt]
B_2=1,6\times 10^{-5}\;\mathrm T \tag{III}
\end{gather}
\]
Os vetores campo magnético, gerados pelas correntes que percorrem as espiras 1 e 2, no centro do sistema
são mostrados na Figura 3-A. Desenhando esses vetores num sistema de eixos coordenado tridimensional
xyz (Figura 3-B), obtemos o vetor campo magnético resultante
\( \vec B \)
que forma um ângulo θ como a direção vertical z.
Podemos calcular o módulo do campo magnético resultante usando o Teorema de Pitágoras
(Figura 3-C)
\[
\begin{gather}
B^2=B_1^2+B_2^2 \\[5pt]
B^2=\left(1,2\times 10^{-5}\right)^2+\left(1,6\times 10^{-5}\right)^2 \\[5pt]
B^2=144\times 10^{-10}+2,56\times 10^{-10} \\[5pt]
B^2=4,0\times 10^{-10} \\[5pt]
B=\sqrt{\;4,0\times 10^{-10}\;} \\[5pt]
B=2,0\times 10^{-5}\;\mathrm T
\end{gather}
\]
O ângulo θ pode será
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}\theta =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{B_1}{B_2} \\[5pt]
\operatorname{tg}\theta =\frac{1,2\times 10^{-5}}{1,6\times 10^{-5}} \\[5pt]
\operatorname{tg}\theta=0,75 \\[5pt]
\theta =\operatorname{arctg}(0,75)\approx 37°
\end{gather}
\]
assim o campo magnético no centro do sistema pode ser caracterizado por
Intensidade: B = 2×10−5 T ;
Direção: formando um ângulo de aproximadamente 37º como o eixo-z ;
Sentido: para “baixo” do eixo-z .
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