Exercício Resolvido de Campo Magnético
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Duas espiras circulares E1 e E2, concêntricas e coplanares de raios R1=10π cm e R2=2,5π cm são percorridas pelas correntes i1 e i2, indicadas na figura. Sendo i1 = 10 A e \( \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\;\frac{\mathrm{T.m}}{\mathrm A} \).
a) Calcule o vetor campo magnético originado pela corrente i1 no centro O;
b) Determine o valor de i2 para que o vetor campo magnético resultante no centro seja nulo.

Dados do problema:

  • Raio da espira 1: R1 = 10 π cm;
  • Corrente na espira 1: i1 = 10 A;
  • Raio da espira 2: R2 = 2,5 π cm;
  • Permeabilidade magnética do vácuo: \( \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\;\frac{\mathrm{T.m}}{\mathrm A} \).

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter as unidades dos raios das espiras, dadas em centímetros (cm), para metros (m)) usados no Sistema Internacional de Unidades (S.I.).

\[ \begin{gather} R_1=10\pi\;\cancel{\mathrm{cm}}\times\frac{1\;\mathrm m}{100\;\cancel{\mathrm{cm}}}=0,1\pi\;\mathrm m=10^{-1}\pi \;\mathrm m\\[10pt] R_2=2,5\pi\;\cancel{\mathrm{cm}}\times\frac{1\;\mathrm m}{100\;\cancel{\mathrm{cm}}}=0,025\pi\;\mathrm m=2,5\pi\times 10^{-2}\;\mathrm m \end{gather} \]
a) O campo gerado pela corrente i1 no centro da espira E1 pode ser obtido pela aplicação da regra da mão direita. Colocando-se o dedo polegar na direção da corrente i1 os demais dedos irão indicar a direção do campo, que neste caso será perpendicular ao plano da espiral e com sentido para “dentro” da folha (Figura 1).
O módulo do campo magnético B é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {B=\frac{\mu_0}{2}\frac{i}{r}} \tag{I} \end{gather} \]
Figura 1

Para o campo magnético B1, aplicando a equação (I)

\[ \begin{gather} B_1=\frac{\mu_0}{2}\frac{i_1}{r_1} \\[5pt] B_1=\frac{4\pi\times 10^{-7}}{2}\times\frac{10}{10^{-1}\pi} \\[5pt] B_1=2\times 10^{-7}\times 10\times 10 \\[5pt] B_1=2\times 10^{-5}\;\mathrm T \tag{II} \end{gather} \]

assim o campo magnético no centro da espira pode ser caracterizado por

Intensidade: B1 = 2×10−5 T ;
Direção: perpendicular ao plano da espira ;
Sentido: para “dentro” da folha.

b) Aplicando a regra da mão direita a espira E2, com o dedo polegar no sentido da corrente os demais dedos indicam que o campo magnético terá a direção perpendicular ao plano da espira e sentido para “fora” da folha (Figura 2).
Figura 2

Para o campo magnético B2

\[ \begin{gather} B_2=\frac{\mu_0}{2}\frac{i_2}{r_2} \\[5pt] B_2=\frac{4\pi\times 10^{-7}}{2}\times \frac{i_2}{2,5\pi\times 10^{-2}} \\[5pt] B_2=0,8\times 10^{-7}\times 10^2\,i_2 \\[5pt] B_2=0,8\times 10^{-5}\,i_2 \tag{III} \end{gather} \]
Um esquema em perspectiva (Figura 3) mostra que os vetores do campo magnético, B1 e B2, possuem mesma direção e sentidos opostos, para que os campos se anulem no centro devemos impor a condição que suas intensidades sejam iguais
\[ \begin{gather} B_1=B_2 \end{gather} \]
igualando as expressões (II) e (III)
\[ \begin{gather} 2\times 10^{-5}=0,8\times 10^{-5}\,i_2 \\[5pt] i_2=\frac{2\times 10^{-5}}{0,8\times 10^{-5}} \end{gather} \]
Figura 3
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {i_2=2,5\;\mathrm A} \end{gather} \]
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