Exercício Resolvido de Campo Magnético
EN
publicidade
Na figura, temos três fios condutores retos, A, B e C, paralelos e extensos.
Os fios são percorridos por correntes ia=10 A, ib=20 A e
ic=30 A, nos sentidos indicados, e encontram-se a uma distância
\( L=2\sqrt{3\;}\;\mathrm m \)
um do outro. Determine o vetor campo magnético no centro O do triângulo (baricentro).
Adotar \( \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\frac{\mathrm{T.m}}{\mathrm A} \).
Adotar \( \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\frac{\mathrm{T.m}}{\mathrm A} \).
Dados do problema:
- Corrente no fio A: ia = 10 A;
- Corrente no fio B: ib = 20 A;
- Corrente no fio C: ic = 30 A;
- Distância entre os fios: \( L=2\sqrt{3\;}\ \mathrm m \);
- Permeabilidade magnética do vácuo: \( \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\frac{\mathrm{T.m}}{\mathrm A} \).
Esquema do problema:
Solução:
Como a distância entre os fios é a mesma eles ocupam os vértices de um triângulo equilátero. A
distância dos fios A, B e C ao ponto O onde se deseja o valor do
campo magnético pode ser calculada com base na Figura 2.
A altura \( \overline{AM} \) é perpendicular ao lado \( \overline{BC} \), e divide este lado em duas partes iguais, assim \( \overline{BM}=\frac{\overline{BC}}{2}=\frac{2\sqrt{3\;}}{2}=\sqrt{3\;}\;\mathrm m \). O segmento \( \overline{OB} \) divide o ângulo \( A\hat{B}C \) ao meio, portanto o ângulo \( O\hat{B}M \) vale 30°, assim a distância r dos fios ao centro O será \( r=\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC} \).
A altura \( \overline{AM} \) é perpendicular ao lado \( \overline{BC} \), e divide este lado em duas partes iguais, assim \( \overline{BM}=\frac{\overline{BC}}{2}=\frac{2\sqrt{3\;}}{2}=\sqrt{3\;}\;\mathrm m \). O segmento \( \overline{OB} \) divide o ângulo \( A\hat{B}C \) ao meio, portanto o ângulo \( O\hat{B}M \) vale 30°, assim a distância r dos fios ao centro O será \( r=\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC} \).
\[
\begin{gather}
\cos 30°=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\overline{BM}}{r} \\[5pt]
r=\frac{\overline{BM}}{\cos 30°}=\frac{\sqrt{3\;}}{\dfrac{\sqrt{3\;}}{2}}=\cancel{\sqrt{3\;}}\times\frac{2}{\cancel{\sqrt{3\;}}}=2\;\mathrm m
\end{gather}
\]
O módulo do campo magnético de um fio reto é calculado pela equação
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{B=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{i}{r}} \tag{I}
\end{gather}
\]
O vetor indução magnética
\( {\vec B}_a \),
devido à corrente que percorre o fio A, será dado pela regra da mão direita, será
tangente à linha de indução magnética no ponto O e perpendicular ao segmento
\( \overline{OA} \)
(Figura 3), aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
B_a=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{i_a}{r} \\[5pt]
B_a=\frac{\cancel 4\cancel{\pi}\times 10^{-7}}{\cancel 2\cancel{\pi}}\times\frac{10}{\cancel 2} \\[5pt]
B_a=10\times 10^{-7}\;\mathrm T
\end{gather}
\]
O vetor indução magnética
\( {\vec B}_b \),
devido à corrente que percorre o fio B será dado pela regra da mão direita, será
tangente a linha de indução magnética no ponto O e perpendicular ao segmento
\( \overline{OB} \) (Figura 4).
O ângulo
\( O\hat{B}C \)
é igual a 30°, este ângulo e o ângulo α são alternos internos, então α também vale
30°. O ângulo β será
\[
\begin{gather}
\alpha +90°+\beta=180° \\[5pt]
30°+90°+\beta =180° \\[5pt]
\beta=180°-120° \\[5pt]
\beta =60°
\end{gather}
\]
Aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
B_b=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{i_b}{r} \\[5pt]
B_b=\frac{\cancel 4\cancel{\pi}\times 10^{-7}}{\cancel 2\cancel{\pi}}\frac{20}{\cancel 2} \\[5pt]
B_b=20\times 10^{-7}\;\mathrm T
\end{gather}
\]
O vetor indução magnética
\( {\vec B}_c \),
devido à corrente que percorre o fio C será dado pela regra da mão direita, será
tangente a linha de indução magnética no ponto O e perpendicular ao segmento
\( \overline{OC} \) (Figura 5).
O ângulo
\( O\hat{C}B \)
é igual a 30°, este ângulo eo ângulo α são alternos internos, então α também vale
30°. O ângulo β será
\[
\begin{gather}
\alpha +\beta =90° \\[5pt]
30°+\beta=90° \\[5pt]
\beta=90°-30° \\[5pt]
\beta=60°
\end{gather}
\]
é o ângulo formado entre o vetor
\( {\vec B}_c \)
e a horizontal (Figura 5).
Aplicando a equação (I)
\[
\begin{gather}
B_b=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{i_b}{r} \\[5pt]
B_b=\frac{\cancel 4\cancel{\pi}\times 10^{-7}}{\cancel 2\cancel{\pi}}\frac{30}{\cancel 2} \\[5pt]
B_b=30\times 10^{-7}\;\mathrm T
\end{gather}
\]
O vetor campo magnético resultante será calculado pela soma vetorial
\[
\begin{gather}
\vec B={\vec B}_a+{\vec B}_b+{\vec B}_c
\end{gather}
\]
desenhando os vetores
\( {\vec B}_a \),
\( {\vec B}_b \)
e
\( {\vec B}_{vC} \)
em um sistema de eixos coordenados e calculando as suas componentes nas direções x e y
(Figura 6)
- Direção x:
\[
\begin{gather}
B_{ax}=B_a\cos 0°=10\times 10^{-7}\times 1=10\times 10^{-7}\;\mathrm T \\[5pt]
B_{bx}=B_b\cos (-60°)=B_b\cos 60°=20\times 10^{-7}\times\frac{1}{2}=10\times 10^{-7}\;\mathrm T \\[5pt]
B_{cx}=B_c\cos 60°=30\times 10^{-7}\times\frac{1}{2}=15\times 10^{-7}\;\mathrm T
\end{gather}
\]
O módulo do vetor resultante na direção x será
\[
\begin{gather}
B_x=B_{ax}+B_{bx}+B_{cx} \\[5pt]
B_x=10\times 10^{-7}+10\times 10^{-7}+15\times 10^{-7} \\[5pt]
B_x=35\times 10^{-7}\;\mathrm T
\end{gather}
\]
- Direção y:
\[
\begin{gather}
B_{ay}=B_a\operatorname{sen}0=10\times 10^{-7}\times 0=0 \\[5pt]
B_{by}=B_b\operatorname{sen}(-60°)=-B_b\operatorname{sen}60°=-20\times 10^{-7}\times\frac{\sqrt{3\;}}{2}=-10\sqrt{3\;}\times10^{-7}\;\mathrm T \\[5pt]
B_{cy}=B_c\operatorname{sen}60°=30\times 10^{-7}\times\frac{\sqrt{3\;}}{2}=15\sqrt{3\;}\times 10^{-7}\;\mathrm T
\end{gather}
\]
O módulo do vetor resultante na direção y será
\[
\begin{gather}
B_y=B_{ay}+B_{by}+B_{cy} \\[5pt]
B_y=0-10\sqrt{3\;}\times 10^{-7}+15\sqrt{3\;}\times 10^{-7} \\[5pt]
B_y=5\sqrt{3\;}\times 10^{-7}\;\mathrm T
\end{gather}
\]
O módulo do vetor resultante
\( \vec B \)
será calculado aplicando-se o Teorema de Pitágoras (Figura 7-A)
\[
\begin{gather}
B^2=B_x^2+B_y^2 \\[5pt]
B^2=\left(35\times 10^{-7}\right)^2+\left(\;5\sqrt{3\;}\times 10^{-7}\;\right)^2 \\[5pt]
B^2=\left(1225\times 10^{-14}\right)+\left(\;25\times 3\times 10^{-14}\;\right) \\[5pt]
B^2=(1225+75)\times 10^{-14} \\[5pt]
B=\sqrt{1300\times 10^{-14}\;} \\[5pt]
B=3,6\times 10^{-6}\;\mathrm T
\end{gather}
\]
O vetor \( \vec B \) formará com o eixo-x um ângulo θ dado por
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}\theta =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{B_y}{B_x} \\[5pt]
\operatorname{tg}\theta=\frac{5\sqrt{3\;}\times\cancel{10^{-7}}}{35\times\cancel{10^{-7}}} \\[5pt]
\operatorname{tg}\theta \approx 0,25 \\[5pt]
\theta =\operatorname{arctg}(0,25)\approx 14°
\end{gather}
\]
O vetor resultante é mostrada na Figura 7-B
Intensidade: 3,6×10−7 T ;
Direção: formando um ângulo de 14º com a horizontal ;
Sentido: para a direita .
publicidade